跳跃表

    本文将总结一种数据结构:跳跃表。前半部分跳跃表性质和操作的介绍直接摘自《让算法的效率跳起来–浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》上海市华东师范大学第二附属中学 魏冉。之后将附上跳跃表的源代码,以及本人对其的了解。难免有错误之处,希望指正,共同进步。谢谢。

    跳跃表(Skip List)是1987年才诞生的一种崭新的数据结构,它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点,就是它的编程复杂度较同类的AVL树,红黑树等要低得多,这使得其无论是在理解还是在推广性上,都有着十分明显的优势。

    首先,我们来看一下跳跃表的结构

《跳跃表》

   跳跃表由多条链构成(S0,S1,S2 ……,Sh),且满足如下三个条件:

  • 每条链必须包含两个特殊元素:+∞ 和 -∞(其实不需要)
  • S0包含所有的元素,并且所有链中的元素按照升序排列。
  • 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。

   操作

   一、查找
   目的:在跳跃表中查找一个元素x
   在跳跃表中查找一个元素x,按照如下几个步骤进行:
      1. 从最上层的链(Sh)的开头开始
      2. 假设当前位置为p,它向右指向的节点为q(p与q不一定相邻),且q的值为y。将y与x作比较
          (1) x=y  输出查询成功及相关信息
          (2) x>y  从p向右移动到q的位置
          (3) x<y  从p向下移动一格

      3. 如果当前位置在最底层的链中(S0),且还要往下移动的话,则输出查询失败

《跳跃表》

    二、插入
     目的:向跳跃表中插入一个元素x
     首先明确,向跳跃表中插入一个元素,相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定,即插入列的位置以及它的“高度”。
     关于插入的位置,我们先利用跳跃表的查找功能,找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则,x必然就插在y的后面。
     而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要,也更加难以确定。由于它的不确定性,使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后,保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质,我们引入随机化算法(Randomized Algorithms)。

     我们定义一个随机决策模块,它的大致内容如下:

  •  产生一个0到1的随机数r     r ← random()
  • 如果r小于一个常数p,则执行方案A,  if  r<p then do A
  • 否则,执行方案B         else do B

     初始时列高为1。插入元素时,不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作,则将列的高度加1,并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次,模块要求执行的是B操作,我们结束决策,并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

     我们来看一个例子:
     假设当前我们要插入元素“40”,且在执行了随机决策模块后得到高度为4
     步骤一:找到表中比40小的最大的数,确定插入位置

《跳跃表》

     步骤二:插入高度为4的列,并维护跳跃表的结构

《跳跃表》

    三、删除

    目的:从跳跃表中删除一个元素x
    删除操作分为以下三个步骤:

  • 在跳跃表中查找到这个元素的位置,如果未找到,则退出
  • 将该元素所在整列从表中删除
  • 将多余的“空链”删除 

《跳跃表》

    我们来看一下跳跃表的相关复杂度:
 
       空间复杂度: O(n)       (期望)
       跳跃表高度: O(logn)  (期望)

    相关操作的时间复杂度:
      查找:  O(logn)    (期望)
      插入:  O(logn)    (期望)
      删除:  O(logn)   (期望)
  
    之所以在每一项后面都加一个“期望”,是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况,不过这种概率极其微小。

    以下是自己学习时碰到的一些问题

《跳跃表》

    首先分配一个链表,用list.hdr指向,长度为跳跃表规定的最高层,说是链表,在以下代码中只是分配了一段连续的空间,用来指向每一层的开始位置。我们看到结构体nodeType中,有一个key,一个rec(用户数据),还有一个指向结构体的指针数组。

    一开始的那些图容易给人误解。如上图所示,例如每个节点的forward[2],就认为是跳跃表的第3层。List.hdrforward[2]指向1111forward[2]指向3030forward[2]指向53。这就是跳跃表的第3层:11—30—–53。(准确的说每个forward都指向新节点,新节点的同层forward又指向另一个节点,从而构成一个链表,而数据只有一个,并不是像开始途中所画的那样有N个副本)。本人天资愚钝,看了挺长时间才把它在内存里的结构看清楚了,呵呵。  

 

    以下是在网上搜到的一个实现代码

    代码中主要注释了insert函数,剩下的两个函数差不多,就不一一注释了

   

/* skip list */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> /* implementation dependent declarations */ typedef enum { STATUS_OK, STATUS_MEM_EXHAUSTED, STATUS_DUPLICATE_KEY, STATUS_KEY_NOT_FOUND } statusEnum; typedef int keyType; /* type of key */ /* user data stored in tree */ typedef struct { int stuff; /* optional related data */ } recType; #define compLT(a,b) (a < b) #define compEQ(a,b) (a == b) /* levels range from (0 .. MAXLEVEL) */ #define MAXLEVEL 15 typedef struct nodeTag { keyType key; /* key used for searching */ recType rec; /* user data */ struct nodeTag *forward[1]; /* skip list forward pointer */ } nodeType; /* implementation independent declarations */ typedef struct { nodeType *hdr; /* list Header */ int listLevel; /* current level of list */ } SkipList; SkipList list; /* skip list information */ #define NIL list.hdr static int count = 0; statusEnum insert(keyType key, recType *rec) { int i, newLevel; nodeType *update[MAXLEVEL+1]; nodeType *x; count++; /*********************************************** * allocate node for data and insert in list * ***********************************************/ /* find where key belongs */ /*从高层一直向下寻找,直到这层指针为NIL,也就是说 后面没有数据了,到头了,并且这个值不再小于要插入的值。 记录这个位置,留着向其后面插入数据*/ x = list.hdr; for (i = list.listLevel; i >= 0; i–) { while (x->forward[i] != NIL && compLT(x->forward[i]->key, key)) x = x->forward[i]; update[i] = x; } /*现在让X指向第0层的X的后一个节点*/ x = x->forward[0]; /*如果相等就不用插入了*/ if (x != NIL && compEQ(x->key, key)) return STATUS_DUPLICATE_KEY; /*随机的计算要插入的值的最高level*/ for ( newLevel = 0; rand() < RAND_MAX/2 && newLevel < MAXLEVEL; newLevel++); /*如果大于当前的level,则更新update数组并更新当前level*/ if (newLevel > list.listLevel) { for (i = list.listLevel + 1; i <= newLevel; i++) update[i] = NIL; list.listLevel = newLevel; } /* 给新节点分配空间,分配newLevel个指针,则这个 节点的高度就固定了,只有newLevel。更高的层次将 不会再有这个值*/ if ((x = malloc(sizeof(nodeType) + newLevel*sizeof(nodeType *))) == 0) return STATUS_MEM_EXHAUSTED; x->key = key; x->rec = *rec; /* 给每层都加上这个值,相当于往链表中插入一个数*/ for (i = 0; i <= newLevel; i++) { x->forward[i] = update[i]->forward[i]; update[i]->forward[i] = x; } return STATUS_OK; } statusEnum delete(keyType key) { int i; nodeType *update[MAXLEVEL+1], *x; /******************************************* * delete node containing data from list * *******************************************/ /* find where data belongs */ x = list.hdr; for (i = list.listLevel; i >= 0; i–) { while (x->forward[i] != NIL && compLT(x->forward[i]->key, key)) x = x->forward[i]; update[i] = x; } x = x->forward[0]; if (x == NIL || !compEQ(x->key, key)) return STATUS_KEY_NOT_FOUND; /* adjust forward pointers */ for (i = 0; i <= list.listLevel; i++) { if (update[i]->forward[i] != x) break; update[i]->forward[i] = x->forward[i]; } free (x); /* adjust header level */ while ((list.listLevel > 0) && (list.hdr->forward[list.listLevel] == NIL)) list.listLevel–; return STATUS_OK; } statusEnum find(keyType key, recType *rec) { int i; nodeType *x = list.hdr; /******************************* * find node containing data * *******************************/ for (i = list.listLevel; i >= 0; i–) { while (x->forward[i] != NIL && compLT(x->forward[i]->key, key)) x = x->forward[i]; } x = x->forward[0]; if (x != NIL && compEQ(x->key, key)) { *rec = x->rec; return STATUS_OK; } return STATUS_KEY_NOT_FOUND; } void initList() { int i; /************************** * initialize skip list * **************************/ if ((list.hdr = malloc( sizeof(nodeType) + MAXLEVEL*sizeof(nodeType *))) == 0) { printf (“insufficient memory (initList)/n”); exit(1); } for (i = 0; i <= MAXLEVEL; i++) list.hdr->forward[i] = NIL; list.listLevel = 0; } int main(int argc, char **argv) { int i, maxnum, random; recType *rec; keyType *key; statusEnum status; /* command-line: * * skl maxnum [random] * * skl 2000 * process 2000 sequential records * skl 4000 r * process 4000 random records * */ maxnum = 20; random = argc > 2; initList(); if ((rec = malloc(maxnum * sizeof(recType))) == 0) { fprintf (stderr, “insufficient memory (rec)/n”); exit(1); } if ((key = malloc(maxnum * sizeof(keyType))) == 0) { fprintf (stderr, “insufficient memory (key)/n”); exit(1); } if (random) { /* fill “a” with unique random numbers */ for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = rand(); printf (“ran, %d items/n”, maxnum); } else { for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = i; printf (“seq, %d items/n”, maxnum); } for (i = 0; i < maxnum; i++) { status = insert(key[i], &rec[i]); if (status) printf(“pt1: error = %d/n”, status); } for (i = maxnum-1; i >= 0; i–) { status = find(key[i], &rec[i]); if (status) printf(“pt2: error = %d/n”, status); } for (i = maxnum-1; i >= 0; i–) { status = delete(key[i]); if (status) printf(“pt3: error = %d/n”, status); } return 0; }

 

   

    原文作者:topcoder1234
    原文地址: https://blog.csdn.net/topcoder1234/article/details/5841119
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