动态规划理论:一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题

—— 本文是学习算法的笔记,《数据结构与算法之美》,极客时间的课程 ——

上一节,我通过两个非常的问题,向你展示了用动态规划问题的过程。今天主要讲一些理论知识。学完这节内容,可以帮你解决这几个问题:什么样的问题可以用动态规划来解决?解决动态规划问题的一般思路是什么?贪心、分治、回溯、动态规划这四种算法思想又有什么区别和联系。

“一个模型三个特征”理论的讲解

动态规划作为一个非常成熟的算法思想,很多人对此做了非常全面的总结,我把这部分理论总结为“一个模型三个特征”。

首先,“一个模型”指的是动态规划适合解决问题的模型。我把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。

具体来说,我们一般是用动态规划来解决最优问题。而解决问题的过程,需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应一组状态。然后我们寻找一组决策序列,经过这组决策序列,能够产生最终期望求解的最优值。

三个特征”,分别是最优子结构无后效性重复子问题。这三个概念比较抽象,逐一解释一下。

1、最优子结构

最优子结构指的是,问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是,我们可以通过子问题的最优解,推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构,对应到我们前面定义的动态规划问题模型上,那我们也可以理解为,后面阶段的状态可以通过前面状态推导出来。

2、无后效性

无后效性,有两层含义,第一层含义是,在推导后面阶段状态的时候,我们只关心前面阶段的状态值,不关心这个状态是怎么一步步推导出来的。第二层含义是,某阶段状态一旦确定,就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型,其实基本上都会满足无后效性。

3、重复子问题

这个概念,前面一节,已经多次提到。用一句话概括就是: 不同的决策序列,到达某个相同的阶段时,可能会产生重复的状态。

“一个模型三个特征”实例剖析

“一个模型三个特征”这部分理论知识,比较抽象,你看了之后可能还是有点懵,有种似懂非懂的感觉,没关系,这个很正常。接下来,我结合一个具体的动态规划问题,来详细解释下。

假设我们有一个 n 乘以 n 的矩阵 w[n][n]。矩阵存储的都是正整数。棋子起始位置在左上角,终止位置在右下角。我们将棋子从左上角移到右下角。每次只能向右或者向下移动一位。整个过程,会有多种不同的路径可以选择。我们把每条路径经过的数字加起来看作路径的长度。那从左上角到右下角的最短路径长度是多少呢?
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我们先看看,这个问题是否符合“一个模型”?

从(0, 0)直到(n-1, n-1),总共要走 2*(n-1)步,也就是对应着 2*(n-1)个阶段。每个阶段都有向右走或者向下走两种决策,并且每个阶段都会对应一个状态集合。

我们把状态定义为 min_dis(i, j),其中 i 表示行,j 表示列。 min_dis 的值表示从(0, 0)到达(i, j)的最短路径长度。所以,这个问题是一个多阶段决策最优解的问题,符合动态规划的模型。
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再来看,这个问题是否符合“三个特征”?

我们可以用回溯算法来解决这个问题。如果你自己写一下代码,画一下递归树,就会发现,递归树中有重复的节点。重复的节点表示,从左上角节点对应的位置,有多种路线,这也能说明这个问题中存在重复子问题。
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如果我们走到(i, j)这个位置,我们只能通过(i-1, j),(i, j-1)这两个位置移过来,也就是说,我们想要计算(i, j)位置对应的状态,只需要关心(i-1, j),(i, j-1)这两个位置的状态,并不关心棋子是通过什么样的路线到达这两个位置的。而且,我们仅仅允许往下和往右移动,不允许后退,所以,前面阶段的状态确定之后,不会被后面阶段的决策所改变。所以这个问题,是符合“无后效性”的。

刚刚定义状态的时候,我们把从起始位置(0, 0)到(i, j)的最小,记作 min_dis(i, j)。因为我们只能往右或者往下移动,所以,我们只有可能从(i-1, j),(i, j-1)两个位置到达(i, j)。也就是说,到达(i, j)的最短路径要么经过(i-1, j),要么经过(i, j-1),而且到达(i, j)的最短路径肯定包含到达这两个位置的最短路径之一。换句话说就是,min_dis(i, j)可以通过min_dis(i, j-1)和min_dis(i-1, j)两个状态推导出来。这就说明,这个问题符合“最优子结构”。

  • min_dis(i, j) = w[i][j] + min(min_dis(i, j-1), min_dis(i-1, j))

两种动态规划解题思路的总结

刚刚讲过,如何鉴别一个问题是否可以用动态规划来解决。现在,我再总结一下,动态规划解题的一般思路,让你面对动态规划问题的时候,能够有章可循,不至于束手无策。

我个人觉得,解决动态规划问题,一般有两种思路。我把它们分别叫作,状态转移表法和状态转移方程法

1、状态转移表法

一般能用动态规划解决的问题,都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以,当我们拿到问题的时候,我们可以先用简单的回溯算法解决,然后定义状态,每个状态表示一个节点,然后对应画出递归树。从递归树中,我们很容易可以看出来,是否存在重复子问题,以及重复子问题是如何产生的。以此来寻找规律,看是否能用动态规划解决。

找到重复子问题之后,接下来,我们有两种处理 思路,第一种是直接用**回溯加“备忘录”**的方法,来避免重复子问题。从执行效率上来讲,这跟动态规划的解决思路没有差别。第二种是使用动态规划的解决方法,状态转移表法。第一种思路,这里就不细讲了,可参考上节内容。我们重点来看下状态转移表法是如何工作的。

我们先画一个状态表。状态表一般都是二维的,所以你可以把它想象成二维数组。其中,第个状态包含三个变量,行、列、数组值。我们根据决策的先后过程,从前往后,根据递推关系,分阶段填充表中的每个状态。最后,我们将这个递推填表的过程,翻译成代码,就是动态规划的代码了。

尽管大部分表都是二维的,但是如果问题的状态比较复杂,需要很多变量来表示,那对应的状态可能就是高维的,比如三维、四维。那这个时候,我们就不适合用状态转移表法来解决了。一方面是因为高维状态转移表不好画图表示,另一方面因为人脑确实很不擅长思考高维的东西。

现在,看一下,如何用状态转移表法,来解决那矩阵最短路径的问题?

从起点到终点,我们有很多种不同的走法。我们可以穷举所有的走法,然后对比找出一个最短走法。不过如何才能不重复,不遗漏地穷举出所有的走法?我们可以用回溯算法这个比较有规律的穷举算法。

回溯算法的代码实现如下

    private int minDist = Integer.MIN_VALUE; //  全局变量或者成员变量
    
    public void minDistBT(int i, int j, int dist, int[][] w, int n) {
    	// 到达了n-1, n-1这个位置
    	if (i == n && j == n) {
			if (dist < minDist) {
				minDist = dist;
			}
			return;
		}
    	if (i < n) { // 往下走,更新 i=i+1, j=j
    		minDistBT(i + 1, j, dist+ w[i][j], w, n);
		}
    	if (j < n) { // 往右走,更新 i=i, j=j+1
    		minDistBT(i, j = 1, dist+ w[i][j], w, n);
		}
    }

有了回溯代码之后,接下来, 我们要画出递归树,以此来寻找重复子问题。在递归树中,一个状态(也就是一个节点)包含三个变量(i, j, dist),其中 i, j 分别表示行列,dist表示从起点到达(i, j)的路径长度。从图中, 我们看出,尽管(i, j, dist)不存在重复的,但是(i, j)重复的有很多。对于(i, j)重复的节点,我们只需要选择 dist最小的节点,继续递归求解,其他节点就可以舍弃了。《动态规划理论:一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题》

既然存在重复子问题,我们就可以尝试看下,是否可以用动态规划来解决呢?

我们画出一个二维状态表,表中的行、列表示棋子所在的位置,表中的值表示从起点到这个位置的最短路径。我们按照决策过程,通过不断状态递推演进,将状态表填好。为了方便代码的实现,我们按行来进行依次填充。《动态规划理论:一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题》

将上面的过程,翻译成代码,就是下面这个样子

    public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {
    	int[][] states = new int[n][n];
    	int sum = 0;
    	for (int j = 0; j < n; j++) { // 初始化 states 的第一行数据
    		sum += matrix[0][j];
    		states[0][j] = sum;
		}
    	sum = 0;
    	for (int i = 0; i < n; i++) { // 初始化 states 的第一列数据
    		sum += matrix[i][0];
    		states[i][0] = sum;
		}
    	for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				states[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(states[i][j - 1], states[i - 1][j]);
			}
		}
    	return states[n - 1][n - 1];
    }

2,状态转移方程法

状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析,某个问题如何通过子问题来递归求解,了就是所谓的最优子结构。根据最优子结构,写出递归公式,也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程。代码实现就非常简单了。一般情况下,我们有两种代码实现方法,一种是递归加“备忘录”,另一种是迭代递推

状态转移方程是解决动态规划的关键。如果我们能写出状态转移方程,那动态规划问题基本上就解决了一大半了,而翻译代码非常简单。但是很多动态规划问题的状态本身不好定义,状态转移方程也就不好想到。

下面用递归加“备忘录”的方式,将状态转移方程翻译成代码,你可以看看。对于另一种实现方式,跟状态转移表法的代码实现是一样的,只是思路不同。

	private int[][] matrix = { { 1, 3, 5, 9 }, { 2, 1, 3, 4 }, { 5, 2, 6, 7 }, { 6, 8, 4, 3 } };
	
	private int n = 4;
	
	private int[][] men = new int[4][4];
	
	private int minDist(int i, int j) { // 调用minDist(n-1, n-1);
		if (i == 0 && j == 0) {
			return matrix[0][0];
		}
		if (men[i][j] > 0) {
			return men[i][j];
		}
		int minLeft = Integer.MAX_VALUE;
		if (j -1 >= 0) {
			minLeft = minDist(i, j - 1);
		}
		int minUp = Integer.MAX_VALUE;
		if (i - 1 >= 0) {
			minUp = minDist(i - 1, j);
		}
		
		int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);
		
		men[i][j] = currMinDist;
		return currMinDist;
	}

两种动态规划解题思路到这里就讲完了。我强调一点,不是第个问题都同时适合这两种解题思路。有的问题可能用第一种思路更清晰,而有的问题可能用第二种思路更清晰,所以,人要结合具体的题目来看,到底选择哪种解题思路。

四种算法思想比较分析

到今天为止,我们已经学习了四种算法思想,贪心、分治、回溯和动态规划。今天的内容主要讲些理论知识,这里看下这四种算法之间有什么区别和联系。

如果我们将这四种算法思想分一下类,那贪心、回溯、动态规划可以归为一类,而分治单独可以作为一类。因为它跟其它三个都不大一样。为什么这么说呢?前三个算法解决问题的模型,都可以抽象成我们今天讲的那个多阶段决策最优解模型,而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题,但是,大部分都不能抽象成多阶段决策模型。

回溯算法是个“万金油”。基本上能用动态规划、贪心解决问题,我们都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况,然后对比得出最优解。不过,回溯算法的时间复杂度非常高,只能用来解决小规模数据问题。对于大规模数据的问题,用回溯算法解决的执行效率就很低了。

尽管动态规划比回溯算法高效,但是,并不是所有问题,都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题,需要满足三个特征,最优子结构、后后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上,动态规划和分治算法区分非常明显。分治算法要求分割成的子问题,不能有重复子问题,而动态规划正好相反。动态规划之所以高效,就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。

贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效,代码实现再加简洁。不过,它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件,最优子结构、无后效性和贪心选择性(这里我们不怎么强调重复子问题)。

其中,最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。“贪心选择性”的意思是,通过局部最优的选择,能产生全局最优选择。每一个阶段,我们都选择当前看起来最优的决策,所有的阶段的决策完成之后,最终由些局部最优解构成全局最优解。

    原文作者:every__day
    原文地址: https://blog.csdn.net/every__day/article/details/88174082
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