凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数

3.5 对数-凹函数和对数-凸函数

  1. 定义
  2. 相关性质

定义

称函数《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》对数凹,如果《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是凹函数。

称函数《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》对数凸,如果《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是凸函数。

函数f是对数凸的当且仅当1/f是对数凹的。

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》时,《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》,相当于对log(f)进行扩展值延伸,此时,如果扩展值函数log(f)是凹函数,则f是对数凹的。

函数《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》,其定义域时凸集,且《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》,函数是对数凹的当且仅当《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

特别的,当《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》时,上式

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即对数凹函数在两点之间中间的函数值不小于这两点的函数值的几何平均值。

根据函数复合规则,可以得出:对数凸函数是凸函数,非负凹函数是对数凹函数。

由于对数函数是单调递增的,所以对数凸函数也是拟凸函数,对数凹函数是拟凹函数。

相关性质

二次可微的对数凸、凹函数

设函数f二次可微,其中dom(f)是凸集,log(f(x))

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《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

函数f是对数凸函数,当且仅当《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

同样,函数f是对数凹函数,当且仅当《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

乘积、和以及积分运算

(1)对数凸性以及对数凹性对乘积以及正的伸缩运算是封闭的,即对数凸函数的乘积,或《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》时的af(x)仍为对数凸函数。

证明:已知《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》为对数凸函数,《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

则:《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》都是凸函数,那么《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》也是凸函数,即《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》为对数凸函数。

(2)对数凹函数的和一般不是对数凹函数。

(3)对数凸函数的和是对数凸函数。

证明:已知《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》为对数凸函数,即《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是凸函数。

则根据凸函数的复合规则有:《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是凸函数。

因此两个对数凸函数的和仍然是对数凸函数。

(4)《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是x的对数凸函数,则函数《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是对数凸函数。

对数凹函数的积分

特殊情况下对数凹函数的性质在积分后仍然保留。

如果《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是对数凹函数,则《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》上是x的对数凹函数。

对数凹函数的性质对卷积运算是封闭的。如果函数f和g在《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》上是对数凹的,则他们的卷积

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》仍然是对数凹函数。

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》是凸集,《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》上的随机变量,设其具有对数凹的概率密度函数p,则函数

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》,表示x受随机变量w的影响后还属于C集合的概率,函数f(x)是对数凹函数。

证明:

将f表述为《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》,

《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

根据对数凹函数的条件:《凸优化第三章凸函数 3.5 对数-凹函数和对数-凸函数》

可知g(u)是对数凹函数,故根据对数凹函数的积分仍是对数凹函数这一性质,可知f(x)是对数凹函数。

 

来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86557497

    原文作者:使君杭千秋
    原文地址: https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111304110
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