二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树

性质一:二叉树中,第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1):

《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》
至少需要有一个结点,否则就不存在这一层了。

性质二:深度为k的二叉树至多有(2^k) -1个结点(k>=1):

实际上是等比数列的求和:

2^0 + 2^2 + 2^3 + … + 2^k-1 = = (2^K) -1

性质三:对于任何一棵二叉树T,如果其叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2,那么n0 = n2+1《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》

比如满足上图:

叶子结点数: 7 8 9 10 11 12
度为2结点数:1 2 3 4 5

满二叉树:根据性质二知,结点达到最大 (2^k)-1 的二叉树称为满二叉树

特点:

  • 每一层的节点数都是最大的节点数
  • 叶子结点全部在最下层

编号规则:从上到下,从左到右,每一个结点位置都有元素。

《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》

完全二叉树:深度为K的具有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中的编号为1~n的节点一一对应时,称为完全二叉树《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》

上图中满二叉树和完全二叉树上的节点从上到下,从左到右是一一对应的,假设我们将完全二叉树的F节点放成C的右孩子,那么从C的左孩子就没法进行一一对应了。
《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》
非完全二叉树的6号元素无法和满二叉树的6号元素对应,一个是右孩子,一个是左孩子。

练习:
图一是满二叉树,也是完全二叉树
图二不是完全二叉树,因为从6号元素开始就无法和满二叉树进行对应
图三是完全二叉树
图四不是完全二叉树,因为从6号开始无法与满二叉树对应,一个是左孩子,一个是右孩子
《二叉树的性质与满二叉树和完全二叉树》
注:一个小技巧

在满二叉树中,从最后一个结点开始,连续去掉任意个结点,即使一棵完全二叉树。

性质四:具有n个结点的完全二叉树的深度为不大于log2n的最大整数+1

深度 k = 不大于log2n的最大整数+1

性质五:如果一棵有n个结点的完全二叉树的节点按层序编号(从第1层到第不大于log2n的最大整数+1层,从左到右),则对任一结点i(i<= i <=n),有:

  1. 如果i == 1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲结点为i/2的向下取整的值,比如i = 5,则双亲结点为5/2 = 2;
  2. 如果2i > n,则结点i为叶子结点,无左孩子;否则,其左孩子是结点2i;
  3. 如果2i + 1 > n,则结点i无右孩子;否则,其右孩子是结点2i +1;
    原文作者:KingOfMyHeart
    原文地址: https://blog.csdn.net/KingOfMyHeart/article/details/116888335
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