简单粗暴理解与实现机器学习线性回归(四):线性回归的损失和优化、损失函数、优化算法、正规方程、梯度下降

线性回归

文章目录

学习目标

  • 掌握线性回归的实现过程
  • 应用LinearRegression或SGDRegressor实现回归预测
  • 知道回归算法的评估标准及其公式
  • 知道过拟合与欠拟合的原因以及解决方法
  • 知道岭回归的原理及与线性回归的不同之处
  • 应用Ridge实现回归预测
  • 应用joblib实现模型的保存与加载

2.4 线性回归的损失和优化

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假设刚才的房子例子,真实的数据之间存在这样的关系

真实关系:真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢,我们随意指定一个关系(猜测)

随机指定关系:预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话,会发生什么?真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢?类似这样样子

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既然存在这个误差,那我们就将这个误差给衡量出来

1 损失函数

总损失定义为:

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  • yi为第i个训练样本的真实值
  • h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
  • 又称最小二乘法

如何去减少这个损失,使我们预测的更加准确些?既然存在了这个损失,我们一直说机器学习有自动学习的功能,在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化(其实是数学当中的求导功能)回归的总损失!!!

2 优化算法

如何去求模型当中的W,使得损失最小?(目的是找到最小损失对应的W值)

线性回归经常使用的两种优化算法

2.1 正规方程

2.1.1 什么是正规方程

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理解:X为特征值矩阵,y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点:当特征过多过复杂时,求解速度太慢并且得不到结果

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2.1.2 正规方程求解举例

以下表示数据为例:

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即:

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运用正规方程方法求解参数:

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2.1.3 正规方程的推导

  • 推导方式一:

把该损失函数转换成矩阵写法:

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其中y是真实值矩阵,X是特征值矩阵,w是权重矩阵

对其求解关于w的最小值,起止y,X 均已知二次函数直接求导,导数为零的位置,即为最小值。

求导:

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注:式(1)到式(2)推导过程中, X是一个m行n列的矩阵,并不能保证其有逆矩阵,但是右乘XT把其变成一个方阵,保证其有逆矩阵。

式(5)到式(6)推导过程中,和上类似。

  • 推导方式二【拓展】:

https://www.jianshu.com/p/2b6633bd4d47

2.2 梯度下降(Gradient Descent)

2.2.1 什么是梯度下降

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设这样一个场景:一个人被困在山上,需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点,也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低。因此,下山的路径就无法确定,他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候,他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是,以他当前的所处的位置为基准,寻找这个位置最陡峭的地方,然后朝着山的高度下降的地方走,(同理,如果我们的目标是上山,也就是爬到山顶,那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走)。然后每走一段距离,都反复采用同一个方法,最后就能成功的抵达山谷。

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梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先,我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。

我们的目标就是找到这个函数的最小值,也就是山底。

根据之前的场景假设,最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向,然后沿着此方向向下走,对应到函数中,就是找到给定点的梯度 ,然后朝着梯度相反的方向,就能让函数值下降的最快!因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向。 所以,我们重复利用这个方法,反复求取梯度,最后就能到达局部的最小值,这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向,也就是场景中测量方向的手段。

2.2.2 梯度的概念

梯度是微积分中一个很重要的概念

在单变量的函数中,梯度其实就是函数的微分,代表着函数在某个给定点的切线的斜率

在多变量函数中,梯度是一个向量,向量有方向,梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度!我们需要到达山底,就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方,梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向,那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向,这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走,就能走到局部的最低点!

2.2.3 梯度下降举例

  • 1. 单变量函数的梯度下降**

我们假设有一个单变量的函数 :J(θ) = θ2

函数的微分:J、(θ) = 2θ

初始化,起点为: θ0 = 1

学习率:α = 0.4

我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:

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如图,经过四次的运算,也就是走了四步,基本就抵达了函数的最低点,也就是山底

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  • 2.多变量函数的梯度下降

我们假设有一个目标函数 ::J(θ) = θ12 + θ22

现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值。我们通过观察就能发现最小值其实就是 (0,0)点。但是接下 来,我们会从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值! 我们假设初始的起点为: θ0 = (1, 3)

初始的学习率为:α = 0.1

函数的梯度为:▽:J(θ) =< 2θ1 ,2θ2>

进行多次迭代:

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我们发现,已经基本靠近函数的最小值点

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2.2.4 梯度下降**(**Gradient Descent)公式

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  • 1) α是什么含义?

    α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长,意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离,以保证不要步子跨的太大扯着蛋,哈哈,其实就是不要走太快,错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢,导致太阳下山了,还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的!α不能太大也不能太小,太小的话,可能导致迟迟走不到最低点,太大的话,会导致错过最低点!

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  • 2) 为什么梯度要乘以一个负号

梯度前加一个负号,就意味着朝着梯度相反的方向前进!我们在前文提到,梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向!而我们需要朝着下降最快的方向走,自然就是负的梯度的方向,所以此处需要加上负号

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

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所以有了梯度下降这样一个优化算法,回归就有了”自动学习”的能力

  • 优化动态图演示

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  • 梯度下降和正规方程的对比
梯度下降正规方程
需要选择学习率不需要
需要迭代求解一次运算得出
特征数量较大可以使用需要计算方程,时间复杂度高O(n3)
  • 选择:
    • 小规模数据:
      • LinearRegression(不能解决拟合问题)
      • 岭回归
    • 大规模数据:SGDRegressor
    原文作者:汪雯琦
    原文地址: https://blog.csdn.net/qq_35456045/article/details/104643017
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