超有趣的二进制—高效位运算秒懂

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我们来看上一篇的一个Varint算法,这个算法的目的是为了令一个整型占用更少的字节,比如小于127的数字,只需占用一个字节即可,小于16384的数字,采用2个字节即可。算法如下:

 while (true) {
  if ((value & ~0x7F) == 0) {
    buffer[position++] = (byte) value;
    return;
  } else {
    buffer[position++] = (byte) ((value & 0x7F) | 0x80);
    value >>>= 7;
  }
}

我们来看看具体图例:

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

我们看到在小于2097153期间,占用空间会小于4个字节,这个优势还比较明显,不过也有弊端,比如超过268435456之后会有占用5个字节,考虑到大多数情况下,并不会应用到这么大的数字,优化空间方面还是不错的。

通过上述算法实现,我发现优秀的应用算法都会大量用到了位运算,而位运算在工作中却很少用到。位运算速度要快于整数运算的,特别是整数乘法,需要10个或者更多个时钟,若果采用移位操作一个或者2个时钟就够了,不过由于我们常采用十进制来进行算术运算,对二进制的位运算不够熟悉,阅读起来会比较耗费精力,所以借助上述算法实现,我们分析一下位运算的优势以及应用,从而更好的理解二进制。上述代码中,有运用到移位操作,位运算,字节序等相关知识点,我们一一分析。

进位制

我们知道,计算机的存储和处理的信息都是以二进制的,虽然在编写程序的期间数运算还是采用10进制表示,但到机器执行的时候,还会以2进制来进行处理。对于有10个指头的人来说,熟知10进制是很自然的事情,你看教小孩子数学的时候,都是先从数指头开始的,那么若是我们只有2个指头,是不是我们现在会更好理解二进制了?

 

其他进制转换10进制

大多数教材会教大家二进制和十进制如何互换,但多数说都是死记硬背式的,并没有去讲解真正含义,换一个进制之后,依然不会,我们回到最根本的一些计数方法上,从10进制来推算。比如我们看一个数字1001,采用十进制表示是:1×10^3+0*10^2+0*10^1+1*10^0。首先从右往左,我们可以看成是从低位到高位,每高一位,指数+1,其次10进制是以10为底数,其三这个公式是采用10进制算术进行计算的(用什么进制算出答案就相当于把当前进制转换为了什么进制了)。这个方式适合所有的进制转换,理解了这个,后续的进制转换都会很容易理解。

2进制的比较简单,我们直接忽略,我们来看下应用到3进制,同样是1001,转换10进制公式:1×3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0=28,我们发现只是底数改变,因为是3进制,所以以3为底数,另外计算方式还是采用10进制算式计算,这表明用10进制算出的答案,就相当于3进制转换为10进制,1001转换为10进制就是28。

那为何不采用其他进制来计算?采用其他进制计算,那么其他进制的乘法口诀你的熟练一遍了,比如10进制的99乘法口诀,你用其他进制的乘法口诀得自己来演绎一遍了,如此这个和我们的常用习惯有些相驳,换算起来会比较慢,所以一般采用十进制与其它进制互转或者作为中间步骤来处理。

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

10进制转换为其他进制

采用上述方法后,我们已经可以做到所有进制转换,包括10进制转3进制,比如十进制28转换为3进制28=2*3+22,这个采用3进制(3的三进制表示10)来进行计算,但是会很麻烦。所以10进制转换其他进制,我们常采用短除法,如下:

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

当前数不断除以3并把余数作为新的最高位,28除以3余1,1为“个位”,9除以3余0,0为“十位”,3除以3余0,0为“百位”,最终的1是“千位”。如果我们有注意到前面的3进制转10进制算法,我们可以发现短除法其实是3进制转10进制的逆操作,比如3进制转换为十进制时候是:1*3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0  ,我们转换一下是((1*3+0)*3+0)*3+1,如此和10进制转换3进制的时候逆向操作。

小数

如果前面的理解了,小数就可以很容易理解了,我们还是先从10进制来看。比如十进制12.34,我们看小数后面十分位部分.3,表示把1分为10份只取3份,.04百分位部分是把1分为100份,取4份。那么我们换成公式:

12.34=1*10^1+2+3*(1/10)+4*(1/100)
     =1*10^1+2+3*10^-1+4*10^-2

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

我们看到小数部分还是以进制为底数,不过指数部分采用了负数,点的左边的位的指数是位的正幂,点数的右边是位的指数负幂。理解了这个,其他进制的小数部分也就了解, 它们是相同的,比如二进制1001.101:

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

有了这个理解,我们后续的浮点数就比较好理解了,IEEE浮点表示浮点数,也是基于这种方式,只是定义了些规范,后续我们会详细了解。

 

移位操作

常见的移位操作有三种:左移,逻辑右移,算术右移。

移动操作

操作
参数x[01100011] [10010101]
x<<4[00110000] [01010000]
x>>4(逻辑右移)[00000110] [00001001]
x>>4(算术右移)[00000110] [11111001]

左移

x向左移动k位,会丢弃最高的k位,并在右端补k个0,也就是常说的当前值乘以2的k次方。为何是乘以2的k次方?我们看10进制的时候,某数乘以10,就是在末尾增加1个0 ,由此我们可以联想到,二进制左移一位(末尾加一个0)相当于乘以2,这个结论普遍存在于所有进位制中:k进制数的末尾加个0,相当于该数乘以k。

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

我们从图中可以看到,左移动一位,就相当于进位制展开式的每个指数都加1,如此移动一位,就相当于当前数(1*2^5+1*2^1+!*2^0)*2^1=1*2^6+1*2^2+1*2^1

右移

理解了左移的原理,右移动的原理也是相同的,右移k位=进位制展开式的每个指数都减k,也就是当前数除以进制的k次方。唯一不同的是分为逻辑右移和算术右移。

逻辑右移就是无符号移位,右移几位,就在左端补几个0,比如上边 Varint中每次右移7位,相应的当前数高位就会补充7个0。

算术右移动是有符号移位,和逻辑右移不同的是,算术右移是在左端补k个最高有效位的值,如此看着有些奇特,但对有符号整数数据的运算非常有用。我们知道有符号的数,首位字节,是用来表示数字的正负。负数采用补码形式来存储,比如[11100110],10进制是-26,算术右移1位之后[11110011],10进制是-13,如若不是补最高有效位的值1而是补做事0的话,右移之后就变成正数了。

 

字节序

单个字节并没有字节序的问题,当一个数据需要多个字节存储的时候,就会牵扯到这样的问题,这个数据的地址是什么,存储器中如何排列这些字节,是高位地址存最高有效位,还是低位地址存最高有效位。

比如一个int类型的变量,它的地址是使用字节中最小的地址,比如在存储器上的位置是0x101、0x102、0x103,它的地址是0x101,若是这个数据是一个w位的整数,位表示为[x(w-1),x(w-2)….,x1,x0],那么其中x(w-1)是最高有效位,x0是最低有效位,w若是8的倍数,位被分组成字节,那么最高有效字节是[x(w-1)…x(w-8)],最低有效字节是[x7,x6…x0]。这个也可以成为物理顺序,和我们普通人理解的存储顺序预期相符合,比如十进制也是高位(百位,10位)在地位(个位)前面。

 

小端法(little endian)

如果字节的逻辑顺序与物理顺序相反,也就是w的最低有效字节在前面[x7,x6….x0],最高有效字节[x(w-1)…x(w-8)]在后面,此时成为小端法(little endian)。多数intel兼容机都采用这种规则。

大端法(big endian)

如果字节的逻辑顺序与物理顺序相同,也就是w的最低有效字节[x(w-1)…x(w-8)]在前面,最高有效字节[x7,x6….x0]在后面,称为大端法(big endian),大多数IBM和SunMicrosystems的机器都是采用这种规则。

 

比如一个十六进制数:0x01234567,我们用大端小端法看他们在存储器上的位置。

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

我们可以看到大端法是比较符合我们习惯的,高位在前地位在后。

上述Varint的算法,是采用小端法来存储字节顺序的。

 buffer[position++] = (byte) ((value & 0x7F) | 0x80);

每次都是获取当前数据的后7个字节存储到数据流buffer里面,也就是低位字节放在buffer字节数组的前面。

 

数独

数独是介绍位运算的好例子,运用位运算和不运用效率差别还是挺大的。我们先看数独需求:

1、当前数字所在数字均含1-9,不重复

2、当前数字所在数字均含1-9,不重复

3、当前数字所在(即3×3的大格)数字均含1-9,不重复(宫,如下图每个粗线内是一个宫)

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

常规算法

若是我们采用常规方式的,每填写一个数字,需要检查当前行、列,宫中其他位置是否有重复数字,极端情况下需要循环27(3*9)次来进行检查,我们看下常规算法下check

	int check(int sp) {
	   // 檢查同行、列、九宮格有沒有相同的數字,若有傳回 1
	   int fg= 0 ;
	   if(!fg) fg= check1(sp, startH[sp], addH) ;   // 檢查同列有沒有相同的數字
	   if(!fg) fg= check1(sp, startV[sp], addV) ;   // 檢查同行有沒有相同的數字
	   if(!fg) fg= check1(sp, startB[sp], addB) ;   // 檢查同九宮格有沒有相同的數字
	   return(fg) ;
	}

	int check1(int sp, int start, int *addnum) {
	   // 檢查指定的行、列、九宮格有沒有相同的數字,若有傳回 1
	   int fg= 0, i, sp1  ;
	   //万恶的for循环
	   for(i=0; i<9; i++) {
	      sp1= start+ addnum[i] ;
	      if(sp!=sp1 && sudoku[sp]==sudoku[sp1]) fg++ ;
	   }
	   return(fg) ;
	}

这个效率是否很吓人,每次填写一个就需要check27次,有木有check一次的算法?当然有了,采用位运算,一次搞定。来我们看下位运算的思路:

位运算

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

我们看上图所示,单个行(或者列、宫)数据,都是有1-9共9个数字,我们统称为九宫数字。若是我们采用二进制,以九宫数字充当二进制数据的位坐标,采用9位的二进制就可以与之一一对应,位上有数据,标识为1,无数据标识为0,如此一个正数就能解决一行九宫数据状态,无需需存一个数组

比如 看图中深红色部分,当前九宫数据中已经有1和3,那么二进制右起第一位和第三位标识为1,一个数字5就可以存下当前行(或者列、宫)数组状态了,如若数字为511表明,所有的九宫数字都用完了,如图第一行。

check一个数字是否已经被占用了,可以采取位运算来获取二进制的右数第k位来查看是否是1,若是1,表明指定数字已经被占用了。我们看下具体check算法:

	// sp 是当前位置索引,indexV 行索引,indexH 列索引,indexB九宫格索引
	int check(int sp,int indexV,int indexH,int indexB) {
	   // 检查同行、列、九宮格沒有用到的数字,若已经用过返回 1
		int status = statusV[indexV]|statusH[indexH]|statusB[indexB];
		//9个数字都被用了
		if (status>=STATUS_MAX_VALUE)
		{
			return 1;
		}
		int number=sudoku[sp];
		//取右数第k位,若是1表明这个值已经存在了
		return status>>(number-1)&1;
	}
	// 行、列、宫二进制数据指定位置标记为1
	int markStatus(int indexV,int indexH,int indexB,int number){
		if (number<1)
		{
			return 0;
		}
		//把右数第k(从1计数)位变成1 
   	  	statusV[indexV]|=(1<<(number-1));
    	statusH[indexH]|=(1<<(number-1));
    	statusB[indexB]|=(1<<(number-1));
	}

我们以以下图例位置举例,如何获得当前位置可以填取的数字

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

《超有趣的二进制—高效位运算秒懂》

可以看到2个位运算就解决了检查可用数字的操作了,而之前常规算法,需要用27次查找才可以获取到。当然了这个算法还可以优化,比如采用启发式DFS,搜索可用数字,速度更快,感兴趣可点击这里

常规算法和位运算算法C语言代码,我已经上传码云了,想了解的点击下面链接,自行去查看去。(常规算法google的)

地址: 常规算法数独位运算版本数独

 基础

位操作符

符号含义规则
两个位都为1时,结果为1
|有一个位为1时,结果为1
^异或0和1异或0都不变,异或1则取反
~取反0和1全部取反
<<左移位全部左移若干位,高位丢弃,低位补0
>>算术右移位全部右移若干位,,高位补k个最高有效位的值
>>逻辑右移位全部右移若干位,高位补0

注意:

1、位运算只可运用于整数,对于float和double不行。

2、另外逻辑右移符号各种语言不太同,比如java是>>>。

3、位操作符的运算优先级比较低,尽量使用括号来确保运算顺序。比如1&i+1,会先执行i+1再执行&。

 

应用实例

很棒的应用实例,你可以mark一下,方便以后对照使用。

1、混合体

位运算实例

位运算功能示例
x >> 1去掉最后一位101101->10110
x << 1在最后加一个0101101->1011010
x << 1 | 1在最后加一个1101101->1011011
x | 1把最后一位变成1101100->101101
x & -2把最后一位变成0101101->101100
x ^ 1最后一位取反101101->101100
x | (1 << (k-1))把右数第k位变成1101001->101101,k=3
x & ~ (1 << (k-1))把右数第k位变成0101101->101001,k=3
x ^(1 <<(k-1))右数第k位取反101001->101101,k=3
 x & 7取末三位1101101->101
x & (1 << k-1)取末k位1101101->1101,k=5
x >> (k-1) & 1取右数第k位1101101->1,k=4
x | ((1 << k)-1)把末k位变成1101001->101111,k=4
x ^ (1 << k-1)末k位取反101001->100110,k=4
x & (x+1)把右边连续的1变成0100101111->100100000
x | (x+1)把右起第一个0变成1100101111->100111111
x | (x-1)把右边连续的0变成111011000->11011111
(x ^ (x+1)) >> 1取右边连续的1100101111->1111
x & -x去掉右起第一个1的左边100101000->1000
x&0x7F取末7位100101000->101000
x& ~0x7F是否小于127001111111 & ~0x7F->0
x & 1判断奇偶00000111&1->1

2、交换两数

int swap(int a, int b)  
{  
    if (a != b)  
    {  
        a ^= b;  
        b ^= a;  
        a ^= b;  
    }  
}  

 

3、求绝对值

int abs(int a)  
{  
    int i = a >> 31;  
    return ((a ^ i) - i);  
}  

 

4、二分查找32位整数前导0个数

int nlz(unsigned x)
{
   int n;

   if (x == 0) return(32);
   n = 1;
   if ((x >> 16) == 0) {n = n +16; x = x <<16;}
   if ((x >> 24) == 0) {n = n + 8; x = x << 8;}
   if ((x >> 28) == 0) {n = n + 4; x = x << 4;}
   if ((x >> 30) == 0) {n = n + 2; x = x << 2;}
   n = n - (x >> 31);
   return n;
}

5、二进制逆序

int reverse_order(int n){

  n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) | ((n & 0x55555555) << 1);
  n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) | ((n & 0x33333333) << 2);
  n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) | ((n & 0x0F0F0F0F) << 4);
  n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) | ((n & 0x00FF00FF) << 8);
  n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) | ((n & 0x0000FFFF) << 16);

  return n;
}

6、 二进制中1的个数

 unsigned int BitCount_e(unsigned int value) {
        unsigned int count = 0;
        // 解释下下面这句话代码,这句话求得两两相加的结果,例如 11 01 00 10
        // 11 01 00 10 = 01 01 00 00 + 10 00 00 10,即由奇数位和偶数位相加而成
        // 记 value = 11 01 00 10,high_v = 01 01 00 00, low_v = 10 00 00 10
        // 则 value = high_v + low_v,high_v 右移一位得 high_v_1,
        // 即 high_v_1 = high_v >> 1 = high_v / 2
        // 此时 value 可以表示为 value = high_v_1 + high_v_1 + low_v,
        // 可见 我们需要 high_v + low_v 的和即等于 value - high_v_1
        // 写简单点就是 value = value & 0x55555555 + (value >> 1) & 0x55555555;
        value = value - ((value >> 1) & 0x55555555);

        // 之后的就好理解了
        value = (value & 0x33333333) + ((value >> 2) & 0x33333333);
        value = (value & 0x0f0f0f0f) + ((value >> 4) & 0x0f0f0f0f);
        value = (value & 0x00ff00ff) + ((value >> 4) & 0x00ff00ff);
        value = (value & 0x0000ffff) + ((value >> 8) & 0x0000ffff);
        return value;

        // 另一种写法,原理一样,原因在最后一种解法中有提到
        //value = (value & 0x55555555) + (value >> 1) & 0x55555555;
        //value = (value & 0x33333333) + ((value >> 2) & 0x33333333);
        //value = (value & 0x0f0f0f0f) + ((value >> 4) & 0x0f0f0f0f);
        //value = value + (value >> 8);
        //value = value + (value >> 16);
        //return (value & 0x0000003f);
    }
    原文作者:极客侠
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_44524802/article/details/90379144
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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