拉普拉斯矩阵

  介绍

       拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子,主要应用在图论中,作为一个图的矩阵表示。

        给定一个有n个顶点的图G,它的拉普拉斯矩阵       《拉普拉斯矩阵》    定义为:  L=D-A

        其中D为图的度矩阵,A为图的邻接矩阵。度矩阵在有向图中,只需要考虑出度或者入度中的一个。

        例如:下面一张图的拉普拉斯矩阵表示为:

                《拉普拉斯矩阵》

              相应的矩阵表示为:

《拉普拉斯矩阵》

               特点:

                  1) 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵,对称矩阵;
                  2) 特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数;
                  3) 最小特征值是0,因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0;
                  4) 最小非零特征值是图的代数连通度。

     正则化的拉普拉斯矩阵

         显然,拉普拉斯矩阵都是对称的。此外,另外一种更为常用的拉普拉斯矩阵形式是正则化的拉普拉斯矩阵(Symmetric normalized Laplacian),定义为:

《拉普拉斯矩阵》

该矩阵中的元素由下面的式子给出:《拉普拉斯矩阵》

常见的拉普拉斯矩阵有三种:

《拉普拉斯矩阵》

 

    原文作者:junzhou134
    原文地址: https://blog.csdn.net/m0_37138008/article/details/102525727
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