“ 列紧 ”是用来描述距离空间中一个子集具有某方面的自身特性。凡是具有 列紧 特性的子集（集合），由其元素构成的任意无尽点列（元素点构成的序列），皆存在收敛子列（子序列）。此处用“无尽”表示点列中元素数量的无穷，以避免与点列自身数值的“无穷”相混淆。
定义1：集合是列紧的
设 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 是一个距离空间， A A A 是其一子集，称 A A A 是 列紧 的，如果 A A A 中任意点列在 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 中有一个收敛子列。若这个子列还收敛到 A A A 中的点，则称 A A A 是 自列紧 的。如果 H \mathcal H H 是列紧的，那么称 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 为 列紧空间 。
H \mathcal H H 是全集， ρ \rho ρ 是其上定义的距离，合起来形成 pair 对 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ)，是空间。有关系： A ⊆ H A \subseteq \mathcal H A⊆H， A A A若是子集，则局部列紧；若 A A A是全集，则全局列紧。
ϵ \epsilon ϵ 网 是指距离空间中某类型的子集，它表达的是子集与空间的关系*。
定义2：有穷 ϵ \epsilon ϵ 网
设 M M M 是 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 的一个子集， ϵ > 0 , N ⊂ M \epsilon\gt0,N\subset M ϵ>0,N⊂M。如果对于 ∀ x ∈ M \forall x\in M ∀x∈M，即空间中任意点， ∃ y ∈ N \exist y\in N ∃y∈N，使 ρ ( x , y ) < ϵ \rho(x,y)\lt\epsilon ρ(x,y)<ϵ，那么称 N N N 是 M M M 的一个 ϵ \epsilon ϵ 网。如果 N N N 还是一个有穷集（个数依赖 ϵ \epsilon ϵ），那么称 N N N 为 M M M 的一个 有穷 ϵ \epsilon ϵ 网。
定义3：完全有界
集合 M M M 称为是完全有界的，如果 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0，都存在着集合 M M M 的一个有穷 ϵ \epsilon ϵ 网。
定理1：Hausdorff
M 列紧 ⇐ ⇒ M 完全有界 M\text{列紧}\Leftarrow\Rightarrow M\text{完全有界} M列紧⇐⇒M完全有界
定理2：空间的可分性
M 完全有界 ⇒ M 可分 M\text{完全有界 }\Rightarrow M\text{可分} M完全有界 ⇒M可分
什么叫“可分”呢？
定义4：Hausdorff可分
一个距离空间若有可数的稠密子集，就称为是可分的。
定义5：稠密子集
设 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 是一个度量空间。集合 E ⊂ H E\subset\mathcal H E⊂H 叫做在 H \mathcal H H 中的稠密子集，如果 ∀ x ∈ H , ∀ ϵ > 0 , ∃ z ∈ E \forall x\in\mathcal H,\forall\epsilon\gt 0,\exist z\in E ∀x∈H,∀ϵ>0,∃z∈E，使得 ρ ( x , z ) < ϵ \rho(x,z)\lt \epsilon ρ(x,z)<ϵ。换句话来说： ∀ x ∈ H , ∃ { x n } ⊂ E \forall x\in\mathcal H,\exist\{x_n\}\subset E ∀x∈H,∃{ xn}⊂E，使得 x n → x x_n\rightarrow x xn→x。
子集 E E E其实充满了整个空间，打个比喻：一个空气空间（全集 H \mathcal H H），氧气（子集 E E E）就是稠密的。空气盒子中除了氧气，还有氮气、二氧化碳等，这些可数的稠密子集，因此空气是可分的。完全有界的空气盒子是可分的。
将一个抽象概念具象化、实例化，对理解很有帮助。
举例：
实数空间可分为大于0部分( R + R^+ R+)和小于等于0部分( R − R^- R−)，但这不是Hausdorff可分，因为 R + R^+ R+和 R − R^- R−都不是在R中稠密的子集。实数空间可分为有理数部分和无理数部分，因为有理数和无理数在R中稠密。
定义6：集合是紧的
该定义与定义1很象，但含义不同，描述的是集合的不同方面性质。“列紧”指的是序列是紧的，单单一个“紧”指的是覆盖是有穷的。而自列紧必紧，反之亦然。
定理2： 设 ( H , ρ ) (\mathcal H,\rho) (H,ρ) 是一个距离空间，为了 M ⊂ H M\subset \mathcal H M⊂H 是紧的必须而且仅须它是自列紧集。
证明：
1）必要性，即证明： M M M 是紧集 ⇒ \Rightarrow ⇒ M M M 是自列紧。
设 M M M 是紧集。先证 M M M 是闭集，只要证 M M M 的余集是开集。 ∀ x 0 ∈ H ∖ M \forall x_0\in \mathcal H\setminus M ∀x0∈H∖M，因为
M ⊂ ∪ x ∈ M B ( x , 1 2 ρ ( x , x 0 ) ) ( 1 ) M\subset\cup_{x\in M}B(x,\frac{1}{2}\rho(x,x_0))\qquad(1) M⊂∪x∈MB(x,21ρ(x,x0))(1)
【即闭集M是开球B的并，这些开球是以M中任意点 x x x为心，到外部任意一点 x 0 x_0 x0距离的一半为半径的球。因为x已然是M中点的所有了，以它与外部一点距离一半作球，必包含x，有可能在球中还包含非M的点，因此它们的并，必然覆盖M。】
利用M的紧性， ∃ x k ∈ M ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) \exist x_k\in M(k=1,2,\cdots,n) ∃xk∈M(k=1,2,⋯,n)，使得：
M ⊂ ∪ k = 1 n B ( x k , 1 2 ρ ( x k , x 0 ) ) ( 2 ) M\subset\cup_{k=1}^{n}B(x_k,\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0))\qquad(2) M⊂∪k=1nB(xk,21ρ(xk,x0))(2)
【(2)中球的并，不同于（1）中球的并。（2）中的球是有穷个开覆盖，注意此处的球都是开集。】
取
δ = min 1 ≤ k ≤ n 1 2 ρ ( x k , x 0 ) \delta=\min_{1\le k\le n}\frac{1}{2}\rho(x_k,x_0) δ=1≤k≤nmin21ρ(xk,x0)
显然有， δ > 0 \delta\gt 0 δ>0。取 ∀ x ∈ B ( x 0 , δ ) \forall x\in B(x_0,\delta) ∀x∈B(x0,δ)，则显然有
For ρ ( x k , x 0 ) ≥ 2 δ , ρ ( x 0 , x ) < δ , so ρ ( x , x 0 ) ≥ ρ ( x k , x 0 ) − ρ ( x 0 , x ) > δ ( k = 1 , 2 , ⋯   , n ) ( 3 ) \text{For }\quad\rho(x_k,x_0)\ge 2\delta,\rho(x_0,x)\lt\delta,\quad \text{so} \\ \ \\ \rho(x,x_0)\ge\rho(x_k,x_0)-\rho(x_0,x)\gt\delta\quad(k=1,2,\cdots,n)\qquad(3) For ρ(xk,x0)≥2δ,ρ(x0,x)<δ,so ρ(x,x0)≥ρ(xk,x0)−ρ(x0,x)>δ(k=1,2,⋯,n)(3)
因此， B ( x 0 , δ ) ∩ M = ∅ B(x_0,\delta)\cap M=\empty B(x0,δ)∩M=∅，有：
∪ x 0 ∈ H ∖ M B ( x 0 , δ ) = H ∖ M ( 4 ) \cup_{x_0\in \mathcal H\setminus M}B(x_0,\delta)=\mathcal H\setminus M \qquad(4) ∪x0∈H∖MB(x0,δ)=H∖M(4)
由于 B ( x 0 , δ ) B(x_0,\delta) B(x0,δ) 是开集，无限开集的并还是开集，因此 H ∖ M \mathcal H\setminus M H∖M 是开集，即 M M M 是闭集。
其次，证M是列紧集，用反证法。
假设有M中的点列 { x n } \{x_n\} { xn} 不含有收敛子列，不妨设 x n x_n xn 是互异的。对每个 n ∈ N n\in\mathbb N n∈N，作集合 S n = { x 1 , x 2 , ⋯   , x n − 1 , x n + 1 , ⋯   } S_n=\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_{n+1},\cdots\} Sn={ x1,x2,⋯,xn−1,xn+1,⋯}，即挖掉了 x n x_n xn，显然每个 S n S_n Sn是闭集（因为 S n S_n Sn不包含收敛子列，即 S n S_n Sn不包含聚点，因此根据闭集定义(包含所有聚点，或不包含聚点的集为开集)， S n S_n Sn是闭集。），从而每个 H ∖ S n \mathcal H\setminus S_n H∖Sn 是开集。但
∪ n = 1 ∞ ( H ∖ S n ) = H ∖ ∩ n = 1 ∞ S n = H ∖ ∅ = H ⊃ M ( 5 ) \cup_{n=1}^{\infty}(\mathcal H\setminus S_n)=\mathcal H\setminus \cap_{n=1}^{\infty}S_n=\mathcal H\setminus \empty=\mathcal H\supset M\qquad(5) ∪n=1∞(H∖Sn)=H∖∩n=1∞Sn=H∖∅=H⊃M(5)
由 M M M的紧性，即 M M M存在有限的覆盖， ∃ N ∈ N \exist N\in \mathbb N ∃N∈N，使得 ∪ n = 1 N ( H ∖ S n ) ⊃ M \cup_{n=1}^N(\mathcal H\setminus S_n)\supset M ∪n=1N(H∖Sn)⊃M，即得
H ∖ { x n } n = N + 1 ∞ ⊃ M ( 6 ) \mathcal H\setminus \{x_n\}_{n=N+1}^{\infty}\supset M\qquad(6) H∖{ xn}n=N+1∞⊃M(6)
但这是不可能的，因为 x N + 1 x_{N+1} xN+1 属于(6)的右边，而不属于(6)的左边，矛盾。因此，说明M是列紧的。
2）充分性： M M M 是自列紧 ⇒ \Rightarrow ⇒ M M M 是紧集
设M是自列紧的，要在M的任意开覆盖中取出有限覆盖。用反证法，如果某个开覆盖 ∪ λ ∈ Λ G λ ⊃ M \cup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\supset M ∪λ∈ΛGλ⊃M，不能取出M的有限覆盖。由于M是列紧的(列紧->完全有界->有穷 ϵ \epsilon ϵ网)， ∀ n ∈ N \forall n\in\mathbb N ∀n∈N，存在有穷的 1 n \frac{1}{n} n1网：
N n = { x 1 ( n ) , x 2 ( n ) , ⋯   , x k ( n ) ( n ) } N_n =\{x_1^{(n)},x_2^{(n)},\cdots,x_{k(n)}^{(n)}\} Nn={ x1(n),x2(n),⋯,xk(n)(n)}
显然 ∪ y ∈ N n B ( y , 1 n ) ⊃ M \cup_{y\in N_n}B(y,\frac{1}{n})\supset M ∪y∈NnB(y,n1)⊃M，即由网上的元素的球体的并覆盖M。因此， ∀ n ∈ N , ∃ y n ∈ N n \forall n\in\mathbb N,\exist y_n\in N_n ∀n∈N,∃yn∈Nn，使得 B ( y n , 1 n ) B(y_n,\frac{1}{n}) B(yn,n1)不能被有限个 G λ G_{\lambda} Gλ所覆盖。
由于假定M是自紧集，必存在收敛子列 y n k y_{n_k} ynk收敛到一点 y 0 ∈ G λ 0 y_0\in G_{\lambda 0} y0∈Gλ0。又由于 G λ 0 G_{\lambda 0} Gλ0是开集，所以 ∃ δ > 0 \exist \delta\gt 0 ∃δ>0，使得 B ( y 0 , δ ) ⊂ G λ 0 B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda 0} B(y0,δ)⊂Gλ0。对此，取k足够大，使 n k > 1 δ n_k\gt \frac{1}{\delta} nk>δ1，并且 ρ ( y n k , y 0 ) < δ 2 \rho(y_{n_k},y_0)\lt \frac{\delta}{2} ρ(ynk,y0)<2δ，则 ∀ x ∈ B ( y n k , 1 n k ) \forall x\in B(y_{n_k},\frac{1}{n_k}) ∀x∈B(ynk,nk1)有：
ρ ( x , y 0 ) ≤ ρ ( x , y n k ) + ρ ( y n k , y 0 ) ≤ 1 n k + δ 2 ≤ δ \rho(x,y_0)\le\rho(x,y_{n_k})+\rho(y_{n_k},y_0)\le\frac{1}{n_k}+\frac{\delta}{2}\le\delta ρ(x,y0)≤ρ(x,ynk)+ρ(ynk,y0)≤nk1+2δ≤δ
即 x ∈ B ( y 0 , δ ) x\in B(y_0,\delta) x∈B(y0,δ)，从而 B ( y n k , 1 / n k ) ⊂ B ( y 0 , δ ) ⊂ G λ B(y_{n_k},1/n_k)\subset B(y_0,\delta)\subset G_{\lambda} B(ynk,1/nk)⊂B(y0,δ)⊂Gλ，即前面所说的不能覆盖，现在可以覆盖了，这与每个 B ( y n , 1 / n ) B(y_n,1/n) B(yn,1/n)不能被有限个 G λ G_{\lambda} Gλ覆盖矛盾。
证毕。
本节几个概念之间的关系如下图：
图1 紧、列紧、完全有界
函数空间上的列紧集
定义7：一致有界
设 F F F 是 C ( M ) C(M) C(M) 的一个子集。如果 ∃ M 1 > 0 \exist M_1\gt 0 ∃M1>0，使得 ∣ ϕ ( x ) ∣ ≤ M 1 ( ∀ x ∈ M , ∀ ϕ ∈ F ) \vert\phi(x)\vert\le M_1(\forall x\in M,\forall \phi\in F) ∣ϕ(x)∣≤M1(∀x∈M,∀ϕ∈F)，则称 F F F 是一致有界的。
定义8：等度连续
如果 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0，总可以找到 δ ( ϵ ) > 0 \delta(\epsilon)\gt 0 δ(ϵ)>0，使得：
∣ ϕ ( x 1 ) − ϕ ( x 2 ) ∣ < ϵ , ( ∀ x 1 , x 2 ∈ M , ρ ( x 1 , x 2 ) < δ , ∀ ϕ ∈ F ) \vert \phi(x_1)-\phi(x_2)\vert\lt\epsilon,(\forall x_1,x_2\in M,\rho(x_1,x_2)\lt\delta,\forall \phi\in F) ∣ϕ(x1)−ϕ(x2)∣<ϵ,(∀x1,x2∈M,ρ(x1,x2)<δ,∀ϕ∈F)
则称 F F F 是等度连续的。
定理3：（Arzela-Ascoli）
F ⊂ C ( M ) F\subset C(M) F⊂C(M)， F F F 是一个列紧集 ⇐ ⇒ \Leftarrow\Rightarrow ⇐⇒ F F F是一致有界且等度连续的函数族。
有了列紧性的函数族（集），则可以在距离空间、紧空间中讨论函数的性质了。