线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵

第一节  向量的内积

一.数学概念

1. 内积:设有n维向量

          《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

令        《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

则称[x,y]为向量xy的内积。

2. 范数:称 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 为向量x的范数(或长度)。

3. 单位向量:称 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时的向量x为单位向量。

4.  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,称

            《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

向量xy的夹角

5. 正交向量组:指一组两两正交的单位向量。

6. 标准正交基:设n维向量 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是向量空间V的一个基,如果 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 两两正交,且都是单位向量,则称《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 V的一个标准正交基。

7. 正交矩阵:如果n阶方阵A满足

               《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》         《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

那末称A为正交矩阵。

8. 正交变换:若P为正交矩阵,则线性变换x=Py称为正交变换。

二.原理,公式和法则

1 .内积的结果是一个数(或是一个多项式),且满足如下性质(其中x,y,zn维向量, 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 为实数):

  (i) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

  (ii) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

  (iii) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

2 .向量的范数是一个数,且满足如下性质:

(i) 非负性  当≠ 0时, 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ;当x = 0时, 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

(ii) 齐次性   《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

(iii) 三角不等式  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

3. 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是单位向量。

4. 正交向量组是线性无关的

5. 施密特标准正交化

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 线性无关,

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,                              令 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》                      《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》             《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

……………………………………………………

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》     《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

三 .重点、难点分析

本节主要讲述一些预备知识,其重点是向量的内积,范数,标准正交基,正交矩阵及正交变换,会够造正交矩阵,易得正交变换,正交变换是在下面的学习中经常要用到的,难点是施密特标准正交化。

四 .典型例题

例1 .已知向量 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,求一组非零向量a1,a2,使a1a2,a3正交,并把a1,a2,a3化成R3的一个标准正交基。

:设所求的向量x,是[a3,x] = 0,即

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

它的基础解系为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,把它们标准正交化,

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,                        《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,

显然 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是两两正交的单位向量,故 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的一个标准正交基。

   

解本题关键在与所求向量与已知向量正交,由它们的内积等于零,得出齐次线性方程组,其基础解系即为所求的向量,然后再把已知的3个向量施密特标准化。




第二节  方阵的特征值与特征向量

 一 .数学概念

.特征值与特征向量

An阶方阵,若数 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 n维的非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,则称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应与特征值 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的特征向量。

2 .特征多项式

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

3 .特征方程

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

 二 .原理,公式和法则

1 .求特征值与特征向量的方法

(1) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》                            (实用于抽象矩阵);

(2) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》                         (实用于具体矩阵);

(3) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》                       (主要用于求特征向量)。

2 .主要公式

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 A的特征值,xA的对应于特征值 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 所对应的特征向量,则有

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》     

注: 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 特征值与特征向量指A可逆时。

3 .特征值与特征向量的性质

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 An个特征值,则有

1) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

2) 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。

4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。

5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。

 三 .重点、难点分析

本节的重点是理解特征值也特征向量的概念,求A的特征值与特征向量,掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明;求方阵A特征值与特征向量的各种方法。

 四 .典型例题

例1 .求方阵   

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

的特征值和特征向量。

: A的特征多项式为

       《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

所以A的特征值为 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,解方程 (A-2E)x=0。由

      《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

得基础解系 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

所以 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是对应于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的全部特征向量。

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,解方程(AE)x=0。由

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

得基础解系

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

所以 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是对应于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的全部特征向量。

例2 .求矩阵

            《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

的特征值和特征向量。

解 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

所以A的特征值为 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,解方程(A+E)x=0。由

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》       《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

得基础解系

   《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

所以 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是对应于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的全部特征向量。 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,解方程(A-2E)x=0。由

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》       《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

得基础解系 

  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

所以对应于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的全部特征向量为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》            《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 

以上例1、例2都有二重特征值,而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量,这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的,希望引起同学们的注意。

 

例3 .设3阶方阵A满足 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,且矩阵A的秩为2,求A的特征值。

:设 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 A的特征值,xA的关于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 所对应的特征向量,则有 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,在 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是两端右乘x,得

     《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

即  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

即  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

由于 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,所以

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

得   《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

A的秩为2,得A的特征值为 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

例3是一个抽象矩阵求特征值的问题,由所给的已知条件求出 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,再根据约束条件(例A的秩等于2)确定A的特征值。




第三节 相似矩阵

一. 数学概念

1 . 相似矩阵

AB都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

则称BA的相似矩阵,记之A~B

2 . 相似变换

A进行 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 运算称为对A进行相似变换矩阵。

二. 原理,公式和法则

1 . 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。

2 .若A相似于对角矩阵L,则L主对线上元素是An个特征值。

3 .n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是:An个线性无关的特征向量。

4 .若n阶方阵An个特征值各不相同,则A与对角阵L相似。

5 .实对称矩阵的特征值为实数。

6 .实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的。

7 .设 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是实对称矩阵Ak重特征值,则矩阵 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的秩 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,从而对应k重特征值 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 恰有k个线性无关的特征向量。

8 .设An阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,其中L是以An个特征值为对角元素的对角矩阵。

三 .重点、难点分析

本节的重点是一般方阵能对角化的条件,实对称阵用正交变换化成对角矩阵,将一个对称阵化成对角矩阵为把二次型化成标准形打基础。难点是上面理论的证明和推导,以及如何用正交变换矩阵将对称阵化成对角矩阵。此类题解法具有很强的规律性,但步骤较多,作起来比较复杂,同学们学习起来还是较困难的。

四. 典型例题

例1 .设矩阵

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

A相似于B,求 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 的值。

:由于A相似于B,则

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

再  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》            

得   《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,    从而 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

此类问题的求解可用方程①A的迹等于特征值的和:②|A|等于特征值的积。若以上两个方程相同,可以由《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,将对角矩阵B的主对角线上元素(即A的特征值)代入即得。

例2 .设矩阵

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

问当k等于何值时,存在可逆矩阵P,使得 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ?并求出P和相应的对角矩阵。

:由

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

显然当= 0时, 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,对应的特征向量为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

对应的特征向量为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

因此当k=0时,零

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》     

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

解此类问题关键分析A应有二重特征值,并且二重特征值需对应两个线性无关的特征向量,从而 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 。确定k,这是十分关键的一步。

例3 .设矩阵

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

求正交矩阵PL,使 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

:由

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

A的特征值为 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,代入方程组 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,即

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

解得 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时一个特征向量为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时,代入方程组 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,即

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

解得 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 时对应的特征向量为

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》

显然 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 正交,但 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 是线性无关的,可以用施密特标准正交把 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 化成两两正交的单位向量,这样较麻烦,若 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》  《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,显然它们正交,并且是上面线性方程组的解,故只须单位化

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 

 《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 ,则P为正交矩阵,且

《线性代数:第五章 相似矩阵及二次型(1)向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵》 


from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

    原文作者:GarfieldEr007
    原文地址: https://blog.csdn.net/GarfieldEr007/article/details/50788432
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