bellman-ford 单源最短路问题 图解

核心思想:松弛操作

对于边(u,v),用dist(u)和(u,v)的和尝试更新dist(v):

                        dist(v) = min(dist(v) , dist(u)+l(u,v)

注:dist(i)为源点(起点)到i点的距离,l(u,v)为u->v的边权。

Bellman-Ford的基本操作是进行多次迭代,每一轮迭代对图上所有边进行松弛操作,直到再一次迭代中没有点的dist发生变化即可停止迭代。为什么呢?不妨假设已经没有dist发生变化了,再进行一轮迭代的话,很显然,之后的迭代没有产生任何作用,dist数组依旧没有改变,反倒增大了时间复杂度,这不是多此一举么。

图解:

                                                        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​《bellman-ford 单源最短路问题 图解》《bellman-ford 单源最短路问题 图解》

初始:(S为源点)

初始设置为inf无穷大,表示还没有最短路

SABCDE
0infinfinfinfinf

第一轮迭代:

对S点连出的边(s->e,s->a)

SABCDE
07(0+7)infinfinf5(0+5)

 对A连出的边(a->c)

SABCDE
07inf9(7+2)inf5

对B连出的边(b->a)

SABCDE
07inf9inf5

               dist(B)还没有找到最短路,更新其他点的最短路径无意义,故对B点的出边不进行松弛

对C连出的边(c->b)

SABCDE
077(9+(-2))9inf5

对D连出的边(d->c,d->a)

SABCDE
0779inf5

               dist(D)还没有找到最短路,更新其他点的最短路径无意义,故对D点的出边不进行松弛 

 对E连出的边(e->d)

SABCDE
07796(5+1)5

已经对所有的边进行了松弛操作,第一轮迭代结束

第二轮迭代

对S点连出的边(s->e,s->a)

SABCDE
077965

                                                                            无需更新

 对A连出的边(a->c)

SABCDE
077965

                                                                            无需更新 

对B连出的边(b->a)

SABCDE
077965

                                                                           无需更新

对C连出的边(c->b)

SABCDE
077965

                                                                            无需更新 

对D连出的边(d->c,d->a)

SABCDE
02(6+(-4))75(6+(-1))65

 对E连出的边(e->d)

SABCDE
027565

已经对所有的边进行了松弛操作,第二轮迭代结束

第三轮迭代

与第一第二轮同理(此处直接给出迭代结束的结果)

SABCDE
022465

第四轮迭代

无任何更新,迭代结束,更新完成

 

算法分析:

如果最短路存在,一定存在一个不含环的最短路。(理由:对零环和正环,去掉后路径不会边长;对负环,若最短路径中存在负环,那一定不是最短路,负环可以无限绕下去,路径可以是负无穷)

最短路不含环,那么一条最短路径最多经过n-1个点(不含起点),所以最多需要n-1轮松弛操作。

复杂度分析:

最多进行n-1次迭代,每次迭代枚举遍历所有边,尝试通过边进行松弛操作,故复杂度为

O(N-1)*O(M)即O(NM),(注:N为点数,M为边数)

伪代码

   for (int i = 0; i <= n; i++)

        dist[i] = inf;//初始化为无穷大

    dist[s] = 0;//s为起点,自己到自己的最短路为0

    for (int k = 1; k <= n – 1; k++)//迭代n-1轮

    {

        for (int i = 1; i <= m; i++)//枚举每一条边

        {

            int x = u[i], y = v[i];

            if (dist[x] < inf)

                dist[y] = min(dist[y], dist[x] + w[i]);//松弛

        }

    }

 检查有无负环

将dist数组初始化为0,迭代n-1次后进行第n次迭代,如果第n次迭代有进行松弛操作,则一定存在负环,因为不存在负环最多只能进行n-1次松弛操作

代码实现:

void bellman_ford(int s, int end) // s为起点,end为终点

{

    memset(dis, 127, sizeof(dis));

    dis[s] = 0; //起点最短路为0

    pre[s] = -1;

    for (int i = 1; i <= n – 1; i++)

    {

        bool ok = false;

        for (int j = 1; j <= m; j++)

        {

            int x = edge[j].u, y = edge[j].v, w = edge[j].w;

            if (dis[x] < (1 << 30) && dis[x] + w < dis[y])

            {

                dis[y] = dis[x] + w;

                pre[y] = x; // y的上一个点为x,如不需打印路径无需pre数组

                ok = true;

            }

        }

        if (ok == false)

        {

            break; //未进行松弛操作,提前退出循环,减小时间复杂度

        }

    }

    if (dis[end] < (1 << 30))

        cout << dis[end] << “\n”;

    else

        cout << “-1\n”;

    // Print_Path(end); //打印路径

}

模板题 

题目链接:最短路 – 题目 – Daimayuan Online Judge

题目描述:

给你一张简单有向图,边权都为非负整数。以及一些询问,询问两个点之间的距离。

图用以下形式给出:

第一行输入三个整数 n,m,k表示图的顶点数、边数和询问次数,顶点编号从 1 到 n。

接下来 m 行,每行三个整数 x,y,z表示 x 到 y 有一条有向边,边权为 z。

接下来 k 行,每行两个整数 x,y 询问从 x 到 y 的最短路长度,如果无法到达,输出 −1。

输入格式:

第一行三个整数 n,m,k 表示图的顶点数、边数和询问次数。

接下来 m 行,每行有三个整数,代表一条边。

接下来 k 行,每行有两个整数,代表一次询问。

输出格式:

输出共 k 行,每行一个数表示一次询问的答案。

数据规模: 

对于所有数据,保证 2≤n≤5000,0≤m≤10000,1≤k≤5,1≤x,y≤n,x≠y,1≤z≤10000。

样例输入:

3 3 2

1 2 3

2 3 2

3 2 1

1 3

3 1

样例输出:

5

-1 

直接给代码了

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct Edge { int u, v, w; } edge[100009]; int pre[100009]; //记录上一个点,为了打印最短路径 int dis[100009], n, m, k; // n为点数,m为边数,dis[i]为起点到i的最短距离 void Print_Path(int x) { if (pre[x] == -1) { cout << x; //起点的pre为-1,所以x为起点 return; } else { Print_Path(pre[x]); cout << "->" << x; } } void bellman_ford(int s, int end) // s为起点,end为终点 { memset(dis, 127, sizeof(dis)); dis[s] = 0; //起点最短路为0 pre[s] = -1; for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { bool ok = false; for (int j = 1; j <= m; j++) { int x = edge[j].u, y = edge[j].v, w = edge[j].w; if (dis[x] < (1 << 30) && dis[x] + w < dis[y]) { dis[y] = dis[x] + w; pre[y] = x; // y的上一个点为x ok = true; } } if (ok == false) { break; //未进行松弛操作,提前退出循环,减小时间复杂度 } } if (dis[end] < (1 << 30)) cout << dis[end] << "\n"; else cout << "-1\n"; // Print_Path(end); //打印路径 } int main() { ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr); //关同步流 cin >> n >> m >> k; for (int i = 1; i <= m; i++) //读入边 { cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w; } for (int i = 1; i <= k; i++) // k次询问 { int x, y; cin >> x >> y; bellman_ford(x, y); } }

《bellman-ford 单源最短路问题 图解》

 参考文献:

《算法竞赛,入门经典(第二版)》

2022 Namomo Spring Camp Div2 Day8 直播课

ending

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    原文作者:self_disc
    原文地址: https://www.cnblogs.com/hygge/p/16200655.html
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