Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性

1 随机图生成简介

1.1 \(G_{np}\)\(G_{nm}\)

以下是我学习《CS224W:Machine Learning With Graphs》[1]中随机图生成部分的笔记,部分补充内容参考了随机算法教材[2]和wiki[3]。随机图生成算法应用非常广泛,在NetworkX网络数据库中也内置的相关算法。我觉得做图机器学习的童鞋很有必要了解下。

Erdos-Renyi随机图[4]以两位著名的匈牙利数学家P.Erdős和A. Rényi的名字命名的,是生成随机无向图最简单和常用的方法,包括以下两种紧密相关的变体:

  • \(G_{np}\): 拥有\(n\)个节点,且边\((u, v)\)以独立同分布的概率\(p\)产生的无向图

  • \(G_{nm}\): 拥有\(n\)个节点,且其中\(m\)条边按照均匀分布采样生成的无向图。

(八卦:最常被讨论的\(G_{np}\)其实是Gilbert[5]提出的,不过由于P.Erdős和A. Rényi提出的\(G_{nm}\)更早一些,后来就将两种都统称Erdos-Renyi随机图了)

1.2 生成方法

  • \(G_{np}\):按某个次序考虑\(\tbinom{n}{2}\)条可能边中的每一条,然后以概率\(p\)独立地往图上添加每条边。
  • \(G_{nm}\): 均匀选取\(\tbinom{n}{2}\)条可能边中的一条,并将其添加为图的边,然后再独立且均匀随机地选取剩余\(\tbinom{n}{2}-1\)可能边中的一条,并将其添加到图中,直到\(m\)边为止(可以证明,虽然是无放回采样,但是每次采样是独立的,任意一种\(m\)条边的选择结果是等概率的)。

值得一提的是,在\(G_{np}\)中,一个有\(n\)个顶点的图具有\(m\)条边的概率满足分布:

\[\tbinom{\tbinom{n}{2}}{m} p^m(1-p)^{\tbinom{n}{2}-m} \]

该分布式二项分布,边的期望数为\(\tbinom{n}{2}p\),每个顶点度的期望为\((n-1)p\)

1.3 两种方法比较

  • 两者的相同点:节点数量都为\(n\),且边数量的期望为\(p\tbinom{n}{2}\)

  • 两者的区别\(G_{np}\)的可能边数量在\(\tbinom{n}{2}p\)上下波动,而\(G_{nm}\)则恒定有\(m\)条边。

2 \(G_{np}\)随机图

2.1 只用\(n\)\(p\)够吗?

\(n\)\(p\)并不能完全决定一个图。我们发现即使给定\(n\)\(p\),图也有许多实现形式。如当\(n=10, p=1/6\)时,就可能产生如下的图:

《Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》

2.2 \(G_{np}\)的图属性

接下来我们考虑给定\(n\)\(p\),图\(G_{np}\)所可能拥有的不属性,包括度分布\(p(k)\)、聚类系数\(C\)、连通分量、平均最短路径长度\(\bar{h}\)等。

  • 度分布

\(G_{np}\)的度分布是满足二项分布的,我们设\(p(k)\)为任意节点度数的概率分布函数。当节点数\(n\)足够大时,\(p(k)\)可视为对度为\(k\)的节点所占比例的近似。我们有:

\[p(k)=\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-1-k}\quad (k=0, 1,…, n-1) \]

其中\(\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)\)表示从\(n-1\)个节点中选\(k\)个节点,\(p\)为边产生的概率。该分布是二项分布,所以我们有以下均值和方差:

\[\begin{aligned} & \bar{k} =(n-1)p \\ & \sigma^2 = (n-1)p(1-p) \end{aligned} \]

二项分布的离散分布图像如下图所示:

《Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》

\(n\)足够大时,二项分布可以用正态分布去近似。

  • 聚类系数

我们设

\[C_{i}=\frac{e_{i}}{\tbinom{k_i}{2}} \]

此处\(e_i\)为节点\(i\)邻居之间的边数,\(k_i\)为节点\(i\)的度,\(\tbinom{k_i}{2}\)为节点\(i\)的邻居间可能存在的边总数。由于\(G_{np}\)中边都按照概率\(p\)独立同分布,我们有

\[\mathrm{E}(e_i)= \tbinom{k_i}{2}p \]

其中\(p\)为节点\(i\)的邻居间两两结合的概率,\(\tbinom{k_i}{2}\)为节点\(i\)的邻居间可能存在的边总数。

我们进一步可推知聚类系数:

\[C =\mathrm{E}(C_i)= \frac{\mathrm{E}(e_i)}{\tbinom{k_i}{2}}=p=\frac{\bar{k}}{n-1} \approx \frac{\bar{k}}{n} \]

  • 连通分量

\(G_{np}\)的图结构会随着\(p\)变化,如下图所示:

《Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》

观察可知其中当巨大连通分量(gaint connected component)出现时,\(p = 1/(n-1)\),此时平均度\(\bar{k} = (n-1)p=1\)

平均度\(k=1-\varepsilon\)(即小于1)时,所有的连通分量大小为\(\Omega(\log n)\)

平均度\(k = 1 + \varepsilon\)(即高于1)时,存在一个连通分量大小为\(\Omega(n)\),其它的大小为\(\Omega(\log n)\)。且每个节点在期望值上至少有一条边。

如下图所示为\(G_{np}\)中,\(n=100000\)\(\bar{k}=(n-1)p=0.5,…, 3\) 时的模拟实验图像:

《Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》

根据模拟实验,在\(G_{np}\)中,平均度大于1时,巨大连通分量恰好出现。

  • 平均最短路径长度

Erdos-Renyi随机图即使扩展到很大,仍然可以保证节点之间只有几跳(hops)的距离,如下所示为图的平均最短路径长度\(\bar{h}\)随节点数量变化的关系图:

《Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》

可以看到平均最短路径长度\(\bar{h}\)随着节点数量\(n\)增长并满足\(O(\log n)\)的增长阶。

2.3 真实网络和\(G_{np}\)的对比

相似点: 存在大的连通分量,平均最短路径长度

不同点: 聚类系数,度分布

在实际应用中,随机图模型可能有以下问题:

  • 度分布可能和真实网络不同,毕竟真实网络不是随机的。
  • 真实网络中巨大连通分量的出现可能不具有规律性。
  • 可能不存在局部的聚类结构,以致聚类系数太小。

3 代码库

NetworkX中内置了Erdos-Renyi随机图的生成函数,包括\(G_{np}\)\(G_{nm}\)。就是需要注意\(G_{np}\)的API[6]

erdos_renyi_graph(n, p, seed=None, directed=False)

该API与nx.binomial_graph nx.gnp_random_graph作用是相同的。

\(G_{nm}\)的API[7]

nm_random_graph(n, m, seed=seed, directed=False)

故大家在实际使用中要注意区分。

参考

    原文作者:orion-orion
    原文地址: https://www.cnblogs.com/orion-orion/p/16254923.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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