数组的最小不可组成和问题

作者:Grey

原文地址:数组的最小不可组成和问题

题目说明

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来源:牛客网

给定一个全是正数的数组arr,定义一下arr的最小不可组成和的概念:

1,arr的所有非空子集中,把每个子集内的所有元素加起来会出现很多的值,其中最小的记为min,最大的记为max;

2,在区间[min,max]上,如果有一些正数不可以被arr某一个子集相加得到,那么这些正数中最小的那个,就是arr的最小不可组成和;

3,在区间[min,max]上,如果所有的数都可以被arr的某一个子集相加得到,那么max+1是arr的最小不可组成和;

举例: arr = {3,2,5}

arr的min为2,max为10,

在区间[2,10]上,4是不能被任何一个子集相加得到的值中最小的,所以4是arr的最小不可组成和;

arr = {3,2,4}

arr的min为2,max为9,

在区间[2,9]上,8是不能被任何一个子集相加得到的值中最小的,所以8是arr的最小不可组成和;

arr = {3,1,2} arr的min为1,max为6,

在区间[2,6]上,任何数都可以被某一个子集相加得到,所以7是arr的最小不可组成和;

请写函数返回arr的最小不可组成和。

思路

首先我们设置两个变量,maxmin用于记录数组累加得到的最大值,和当数组不为空累加得到的最小值。那么在数组非空状态下,累加和一定在[min, max]区间内。我们设置

boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];

其中dp[i][j]表示[0....i]范围内的元素任意累加,能否组成j这个累加和。

显然有

// 0元素可以组成arr[0]这个累加和
dp[0][arr[0]] = true;

for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
     // 0..i上一个元素都不用,可以组成0这个累加和
     dp[i][0] = true;
}

这样我们得到dp这个数组第一行和第一列的情况。

然后我们可以推导普遍位置

dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);

其含义为:

[0...i]范围内,任意选择,能否组成j这个累加和,其实包括了两种情况:

情况1:[0...i-1]范围内,任意选择,能否组成j这个累加和,如果可以,说明dp[i][j]=true

情况2:[0...i-1]范围内,任意选择,能否组成j-arr[i]这个累加和(注意不能越界),如果可以,说明dp[i][j] = true

所以,普遍位置的求法如下

        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
            }
        }

经过上述处理,dp已全部填好,接下来就是判断dp中第一个为false的位置,即为答案

        for (int i = min; i <= max; i++) {
            if (!dp[arr.length - 1][i]) {
                return i;
            }
        }

如果上述过程没有找到,则返回max+1,完整代码如下

    public static int getFirstUnFormedNum(int[] arr) {
        int min = arr[0];
        int max = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            max += arr[i];
            min = Math.min(min, arr[i]);
        }
        // 可以到的范围是[min,max]
        // dp[i][j] 0....i能否组成j
        boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];
        // 第0行 除了下述位置,其他位置都是false
        dp[0][arr[0]] = true;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            // 0..i上一个元素都不用,可以组成0这个累加和
            dp[i][0] = true;
        }
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
            }
        }
        for (int i = min; i <= max; i++) {
            if (!dp[arr.length - 1][i]) {
                return i;
            }
        }
        return max + 1;
    }

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算法和数据结构笔记

    原文作者:Grey Zeng
    原文地址: https://www.cnblogs.com/greyzeng/p/16389645.html
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