数理统计—无穷级数

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一、幂级数

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n                                        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ f(x)=n=0an(xx0)n                                      
                                                   = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n ( x − x 0 ) n ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+···+a_n(x-x_0)^n                                                   =a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n

二、泰勒级数

f(x)的泰勒级数是如下的幂级数:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n f(x)=n=0n!f(n)(a)(xa)n

这里,n!表示n的阶乘,
f ( n ) ( a ) f^{(n)}(a) f(n)(a) 表示函数
f f f
a a a 点处的 n 阶导数。约定0阶导数是该函数本身,即
f ( x ) f(x) f(x)

泰勒级数的使用(近似计算)
若已知2个幂级数如下:
: log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 − x 3 3 + O ( x 4 ) \log(1+x) = x- \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{3}+O(x^4) log(1+x)=x2x23x3+O(x4)
c o s x − 1 = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) cosx-1 = – \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}- \frac{x^6}{720}+O(x^8) cosx1=2x2+24x4720x6+O(x8)
: 那么:
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三、傅里叶级数

3.1 定义

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3.2 指数形式

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3.3 三角形式和指数形式的关系

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3.4 几何意义

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3.5 傅里叶变换和逆傅里叶变换

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    原文作者:SongpingWang
    原文地址: https://blog.csdn.net/wsp_1138886114/article/details/81235220
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