概率论与数理统计(2.3-2.4)随机变量的分布函数和密度函数(连续型)

一、2.3 随机变量的分布函数

1.定义

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  • 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。
  • F(x)是x的一个普通实函数
  • X是随机变量,x是参变量
  • 不同的随机变量可能会是相同的分布函数

2.性质

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长利用性质2来求分布函数中的参数

3.重要公式

  • P{X<=a} =F(a)
  • P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a)
  • P{a<X<=b} =P{x<=b}-P{X<=a} =F(b)-F(a)
  • P{X=a} =F(a)-F(a-0)
  • P{a<=X<=b} =F(b)-F(a-0)
  • P{X<a} =F(a-0)
  • P{X>=a} =1-F(a-0)

F(a-0) 表示从负无穷逼近a但是不包含a点。

4.离散型随机变量X的分布函数

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如果是 分布函数 ——>概率
它的间断点xk是x的取值:P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)

5.连续型随机变量的分布函数

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如果连续性随机变量的分布函数中有参数,可以利用连续的定义来求参数

二、2.4连续型随机变量及其密度

1.概率密度函数定义

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2.概率密度函数性质

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  • 前两条性质为充分必要条件
  • 性质2如图:性质2常用于求参数
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  • 性质3如图
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  • 对于连续性随机变量,我们不关心在某一点的取值,而在乎在某一区间上取值的问题。
  • 连续性随机变量 P{X=a} =0;但X=a并非不可能事件,意味着A是不可能事件则,P(A)=0;但P(A)=0,不意味A一定是不可能事件。
  • 随机变量X的概率分布:1.连续型随机变量-概率密度;2.离散型随机变量-分布律。

做题一般两种。1.告诉概率密度函数求分布函数,积分就行 2告诉分布函数求概率密度函数,求导就行。.

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3.三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

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  • 服从均匀分布的随机变量X落在区间(a,b)任意等长度的子区间的概率相同,只取决于区间长度,与位置无关。
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  • 分布函数和f(x)、F(x)的图形
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(2)指数分布《概率论与数理统计(2.3-2.4)随机变量的分布函数和密度函数(连续型)》

分布函数
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重要特征
对任意 s,t >0
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X解释为寿命,则表明如果已知X的寿命大于t年,则它再活s年的概率与年龄t无关。
电子元件的寿命,动物的寿命等都服从指数分布

(3)正态分布

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分布函数
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性质:对称轴、最大值
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两种变化:固定一个参数,另外一个参数变化

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标准正态分布(重点)

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标准正态分布的分布函数和概率密度图
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性质

  • y轴对称,偶函数
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标准正态分布通过查表获得分布函数值 《概率论与数理统计(2.3-2.4)随机变量的分布函数和密度函数(连续型)》
对于非标准分布函数转化为标准分布函数的方法 重点
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下图例子为非标准分布函数转化为标准分布函数计算
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    原文作者:怪就怪在
    原文地址: https://blog.csdn.net/weirdo_cy/article/details/104997792
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