一、2.3 随机变量的分布函数

1.定义

• 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。
• F(x)是x的一个普通实函数
• X是随机变量，x是参变量
• 不同的随机变量可能会是相同的分布函数

2.性质

长利用性质2来求分布函数中的参数

3.重要公式

• P{X<=a} =F(a)
• P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a)
• P{a<X<=b} =P{x<=b}-P{X<=a} =F(b)-F(a)
• P{X=a} =F(a)-F(a-0)
• P{a<=X<=b} =F(b)-F(a-0)
• P{X<a} =F(a-0)
• P{X>=a} =1-F(a-0)

F(a-0) 表示从负无穷逼近a但是不包含a点。

4.离散型随机变量X的分布函数

如果是 分布函数 ——>概率
它的间断点x_k是x的取值：P{X=x_k}=F(x_k)-F(x_k-0)

5.连续型随机变量的分布函数

如果连续性随机变量的分布函数中有参数，可以利用连续的定义来求参数

二、2.4连续型随机变量及其密度

1.概率密度函数定义

2.概率密度函数性质

• 前两条性质为充分必要条件
• 性质2如图：性质2常用于求参数
  
• 性质3如图
  
• 对于连续性随机变量，我们不关心在某一点的取值，而在乎在某一区间上取值的问题。
• 连续性随机变量 P{X=a} =0;但X=a并非不可能事件，意味着A是不可能事件则，P（A）=0；但P（A）=0，不意味A一定是不可能事件。
• 随机变量X的概率分布：1.连续型随机变量-概率密度；2.离散型随机变量-分布律。

做题一般两种。1.告诉概率密度函数求分布函数，积分就行 2告诉分布函数求概率密度函数，求导就行。.

3.三种重要的连续型随机变量

（1）均匀分布

• 服从均匀分布的随机变量X落在区间（a,b）任意等长度的子区间的概率相同，只取决于区间长度，与位置无关。
  
• 分布函数和f(x)、F(x)的图形
  
  
  

（2）指数分布

分布函数

重要特征
对任意 s,t >0

X解释为寿命，则表明如果已知X的寿命大于t年，则它再活s年的概率与年龄t无关。
电子元件的寿命，动物的寿命等都服从指数分布

（3）正态分布

分布函数

性质：对称轴、最大值

两种变化：固定一个参数，另外一个参数变化

标准正态分布（重点）

标准正态分布的分布函数和概率密度图

性质

• y轴对称，偶函数
  

标准正态分布通过查表获得分布函数值
对于非标准分布函数转化为标准分布函数的方法 重点


下图例子为非标准分布函数转化为标准分布函数计算