求参数的取值范围

前言

求参数的取值范围,是高中数学中非常普遍的一类题目,现作以总结整理。、

集合

例1已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\),集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\),若\(B\subseteq A\),则实数\(m\)的取值范围是什么?

分析:集合\(A\)为定集,集合\(B\)为动集,又因为出现了条件\(B\subseteq A\),故需要针对集合\(B\)分类讨论如下:

1、当集合\(B=\varnothing\)时,则有\(m+1\ge 2m-1\),解得\(m\leq 2\)

《求参数的取值范围》

2、当集合\(B\neq\varnothing\)时,必须满足三个条件,即\(\begin{cases}&m+1<2m-1\\&-2\leq m+1\\&2m-1\leq 7\end{cases}\),解得\(2<m\leq 4\)

《求参数的取值范围》

综上所述:实数\(m\)的取值范围是\(\{m\mid m\leq 4\}\)

逻辑用语

例2已知\(“\)命题\(p:(x-m)^2>3(x-m)\)\(”\)\(“\)命题\(q:x^2+3x-4<0\)\(”\)成立的必要不充分条件,则实数\(m\)的取值范围为________. 

【解析】先化简命题\(p\),由\((x-m)^2>3(x-m)\),得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)

\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\),即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)

则有\(p:x>m+3\)\(x<m;q:-4<x<1\)

因为\(p\)\(q\)成立的必要不充分条件,则\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)

所以\(m+3≤-4\)\(m≥1\),即\(m≤-7\)\(m≥1\)

\(m\)的取值范围为\((-\infty,-7]\cup[1,+\infty)\)

例3【转化划归+分类讨论】设集合\(A=\{x\mid -2-a<x<a,a>0\}\),命题\(p\)\(1\in A\),命题\(q\)\(2\in A\),若\(p\)\(q\)为真命题,\(p\)\(q\)为假命题,则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.\{a\mid 0< a <1$或$a>2\}$ $B.\{a\mid 0< a <1$或$a\ge 2\}$ $C.\{a\mid 1< a \leq 2\}$ $D.\{a\mid 1\leq a\leq 2\}$

法1:由\(p\)\(q\)为真命题,\(p\)\(q\)为假命题可知,转化为命题\(p\)\(q\)必然是一真一假;

\(p\)真且\(q\)假时,有\(\left\{\begin{array}{l}{-2-a<1<a}\\{2\ge a或 2\leq -2-a}\end{array}\right.\),解得\(1<a\leq 2\)

\(p\)假且\(q\)真时,有\(\left\{\begin{array}{l}{1\ge a或 1\leq -2-a}\\{-2-a<2<a}\end{array}\right.\),解得\(a\in \varnothing\)

综上,\(1<a\leq 2\);故选\(C\)

法2:利用运动观点求解,做出区间\((-2-a,a)\),然后让参数\(a\)\(0\)\(3\)逐渐增大,

\(a=0\)时,设给定区间为\(A\),则\(A=(-2,0)\),此时\(1\not\in A\)\(2\not\in A\),故不满足题意;

\(a=1\)时,则\(A=(-3,1)\),此时\(1\not\in A\)\(2\not\in A\),故不满足题意;

\(a=1.5\)时,则\(A=(-3.5,1.5)\),此时\(1\in A\)\(2\not\in A\),故满足题意;

\(a=2\)时,则\(A=(-4,2)\),此时\(1\in A\)\(2\not\in A\),故满足题意;

\(a=3\)时,则\(A=(-5,3)\),此时\(1\in A\)\(2\in A\),故不满足题意;

综上可知,参数\(a\)的取值只能是\(1<a\leq 2\);选\(C\).

定义域值域

  • 已知定义域或值域,求参数的取值范围

例1【已知定义域或值域为\(R\)求参数的取值范围】已知函数\(f(x)=ln(x^2+2ax-a)\)

①如果函数的定义域是\(R\),求参数\(a\)的取值范围;

预备:先想一想,这个函数的定义域应该怎么求解?

分析:由于函数的定义域是\(R\),说明对任意的\(x\in R\),都能使得\(g(x)=x^2+2ax-a>0\)

转化为二次函数恒成立问题了,(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合,函数\(g(x)\)开口向上,和\(x\)轴没有交点,则\(\Delta <0\)

\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0\),解得\(a\in (-1,0)\)

②如果函数的值域是\(R\),求参数\(a\)的取值范围;

分析:如右图所示,要使得函数\(f(x)\)的值域是\(R\),说明内函数\(g(x)=x^2+2ax-a\)必须要能取遍所有的正数,结合下图,

《求参数的取值范围》

如果有一部分正实数不能取到,那么函数\(f(x)\)的值域就不会是\(R\),这样只能是函数\(g(x)\)\(\Delta \ge 0\)

《求参数的取值范围》

而不能是\(\Delta <0\),注意现在题目要求是值域为\(R\),而不是定义域为\(R\)

因此必须满足条件\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0\),解得\(a\in \{a\mid a\leq -1 ,a\ge 0\}\)

下图是参数\(a\in [-3,3]\)时的两个函数图像的动态变化情况;

《求参数的取值范围》

下图是参数\(a\in (-1,0)\)时的两个函数图像的动态变化情况;

《求参数的取值范围》

二次不等式

例1【2017铜川模拟】不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a,b\in R\)恒成立,则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。

法1:(将\(b\)\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立,

\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)

法2:变量集中策略,当\(b=0\)时,即\(a^2\ge 0\)恒成立,\(\lambda\in R\)

\(b\neq 0\)时,原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)

\(\cfrac{a}{b}=t\in R\),即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立,

\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)

解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)

综上所述(两种情况取交集),实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)

例2设函数\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\),若对于\(x\in [1,3]\)\(f(x)<-m+5\)恒成立,求\(m\)的取值范围。

法1:利用二次函数求解,要使\(f(x)<-m+5\)恒成立,即\(mx^2-mx+m-6<0\)

\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)\(x\in[1,3]\)上恒成立,

\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)

\(m>0\)时,\(g(x)\)\([1,3]\)上是增函数,

所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)

则有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)

\(m<0\)时,\(g(x)\)\([1,3]\)上是减函数,

所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)

则有\(m<0\)

综上所述,\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)

法2:分离参数法,因为\(x^2-x+1>0\),由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)

故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立,

又因为函数\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(\cfrac{6}{7}\),

故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可,

又因为\(m\neq 0\),所以\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)

例4已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立,则\(x\)的取值范围是多少?

分析:主辅元换位,把不等式的左端看成关于\(a\)的一次函数,

记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\),则由\(f(a)>0\)对于任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立,

只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可,

\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)

解得\(x<1\)\(x>3\),则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10045664.html

    原文作者:weixin_30263277
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_30263277/article/details/101856242
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