极值点与拐点的对应三个充分条件

极值

一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有
《极值点与拐点的对应三个充分条件》

又是费马定理

判断极值的第一充分条件

《极值点与拐点的对应三个充分条件》

判断极值的第二充分条件

《极值点与拐点的对应三个充分条件》

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
《极值点与拐点的对应三个充分条件》

当 n 为偶数时
必须n为偶数。

《极值点与拐点的对应三个充分条件》
证明:

由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
《极值点与拐点的对应三个充分条件》
上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得:
《极值点与拐点的对应三个充分条件》
x0 极大值点
《极值点与拐点的对应三个充分条件》
x0 极小值点

证毕

拐点

二阶可导点是拐点的必要条件

设 f’’(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
《极值点与拐点的对应三个充分条件》

判断拐点的第一充分条件

《极值点与拐点的对应三个充分条件》

判断拐点的第二充分条件

《极值点与拐点的对应三个充分条件》

判断拐点的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
在n-1阶导数为0
在n阶导数不为0

当 n 为奇数时
n只可以为奇数

证明:

由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
《极值点与拐点的对应三个充分条件》
上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得:
《极值点与拐点的对应三个充分条件》
故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

证毕

提醒

对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
如果是拐点值来说就是y的值了。

极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

    原文作者:镇南边
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_42864519/article/details/108262584
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