线性代数【三】:伴随矩阵,初等矩阵与矩阵方程

本节为线性代数复习笔记的第三部分,伴随矩阵,初等矩阵与矩阵方程,包括矩阵的初等变换以及初等矩阵的性质,伴随矩阵的一个运算性质,矩阵方程与一道相关例题,等价矩阵和等价标准型以及矩阵的秩。

1.初等变换

  初等行变换相当于矩阵左乘一个初等矩阵,初等列变换相当于矩阵右乘一个初等矩阵(初等矩阵就是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵),初等变换不会改变矩阵的秩。矩阵初等变换包括:

  • 一个非零常数乘矩阵的某一行或某一列
  • 互换矩阵中某两行/列的位置
  • 将某行/列的k倍加到另一行/列

  初等矩阵还有几个性质:

  • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
  • 初等矩阵都是可逆矩阵且逆矩阵仍是初等矩阵
  • 矩阵可逆,则该矩阵可以表达为一系列初等矩阵的乘积

2. 伴随矩阵的一个性质

   ∣ A A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ |AA^*|=||A|E| AA=AE 所 以 , ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n ∣ E ∣ 所以,|A||A^*|=|A|^n|E| AA=AnE
∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \therefore |A^*|=|A|^{n-1} A=An1.

3. 矩阵方程

  矩阵方程即 A x B = C , 则 有 x = A − 1 C B − 1 AxB=C,则有x=A^{-1}CB^{-1} AxB=Cx=A1CB1.

e g . 设 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 A ∗ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 − 3 0 8 ] eg.设矩阵A的伴随矩阵A^*=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&-3&0&8\end{matrix}\right] eg.AA=1010010300100008 且 A B − 1 A = B A − 1 + 3 E , 其 中 E 是 四 阶 单 位 矩 阵 , 且AB^{-1}A=BA^{-1}+3E,其中E是四阶单位矩阵, AB1A=BA1+3EE 求 矩 阵 B 求矩阵B B

解 : ( A − E ) B A − 1 = 3 E , 解:(A-E)BA^{-1}=3E, (AE)BA1=3E
B = 3 ( A − E ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = 3 ( A − 1 ( A − E ) − 1 ) − 1 B=3(A-E)^{-1}(A^{-1})^{-1}=3(A^{-1}(A-E)^{-1})^{-1} B=3(AE)1(A1)1=3(A1(AE)1)1
= 3 ( E − A − 1 ) − 1 = 3 ( E − A ∗ ∣ A ∣ ) − 1 =3(E-A^{-1})^{-1}=3(E-\frac{A^*}{|A|})^{-1} =3(EA1)1=3(EAA)1
又 因 为 A A ∗ = ∣ A ∣ E , ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 , 又因为AA^*=|A|E,|A^*|=|A|^{n-1}, AA=AEA=An1
∣ A ∣ 3 = ∣ A ∗ ∣ = 8 , ∴ ∣ A ∣ = 2 , ∴ B = 6 ( 2 E − A ∗ ) |A|^3=|A^*|=8,\therefore|A|=2,\therefore B=6(2E-A^*) A3=A=8A=2B=6(2EA)

4. 等价矩阵

   A , B 均 为 m × n 矩 阵 , 若 存 在 可 逆 矩 阵 P m × m , A,B均为m\times n矩阵,若存在可逆矩阵P_{m\times m}, ABm×nPm×m Q n × n , 且 P A Q = B , 则 称 A 是 B 的 等 价 矩 阵 , Q_{n \times n},且PAQ=B,则称A是B的等价矩阵, Qn×nPAQ=BAB 记 为 A ≅ B 记为A\cong B AB 若 r ( A ) = r , 则 存 在 P 和 Q 若r(A)=r,则存在P和Q r(A)=rPQ
使 得 P A Q = [ E r O O O ] , 等 式 右 边 称 为 使得PAQ=\left[\begin{matrix}E_r&O\\O&O\end{matrix}\right],等式右边称为 使PAQ=[ErOOO] A 的 等 价 标 准 型 , 矩 阵 的 等 价 标 准 型 是 唯 一 的 A的等价标准型,矩阵的等价标准型是唯一的 A

5. 矩阵的秩

   设 A 是 m × n 矩 阵 , A 中 最 大 的 不 为 零 的 子 行 列 式 设A是m\times n矩阵,A中最大的不为零的子行列式 Am×nA 的 阶 数 称 为 矩 阵 A 的 秩 , 记 为 r ( A ) , 且 有 : 的阶数称为矩阵A的秩,记为r(A),且有: Ar(A)
r ( A n × n = n ) ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可 逆 r(A_{n\times n}=n)\Leftrightarrow|A|\neq 0\Leftrightarrow A可逆 r(An×n=n)A=0A.

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《线性代数【三】:伴随矩阵,初等矩阵与矩阵方程》

    原文作者:不会算命的赵半仙
    原文地址: https://blog.csdn.net/kevin_zhao_zl/article/details/106318974
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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