本节为线性代数复习笔记的第三部分，伴随矩阵，初等矩阵与矩阵方程，包括矩阵的初等变换以及初等矩阵的性质，伴随矩阵的一个运算性质，矩阵方程与一道相关例题，等价矩阵和等价标准型以及矩阵的秩。

1.初等变换

  初等行变换相当于矩阵左乘一个初等矩阵，初等列变换相当于矩阵右乘一个初等矩阵（初等矩阵就是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵），初等变换不会改变矩阵的秩。矩阵初等变换包括：

• 一个非零常数乘矩阵的某一行或某一列
• 互换矩阵中某两行/列的位置
• 将某行/列的k倍加到另一行/列

  初等矩阵还有几个性质：

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
• 初等矩阵都是可逆矩阵且逆矩阵仍是初等矩阵
• 矩阵可逆，则该矩阵可以表达为一系列初等矩阵的乘积

2. 伴随矩阵的一个性质

   ∣ A A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ |AA^*|=||A|E| ∣AA∗∣=∣∣A∣E∣， 所 以 ， ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n ∣ E ∣ 所以，|A||A^*|=|A|^n|E| 所以，∣A∣∣A∗∣=∣A∣n∣E∣，
∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \therefore |A^*|=|A|^{n-1} ∴∣A∗∣=∣A∣n−1.

3. 矩阵方程

  矩阵方程即 A x B = C ， 则 有 x = A − 1 C B − 1 AxB=C，则有x=A^{-1}CB^{-1} AxB=C，则有x=A−1CB−1.

e g . 设 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 A ∗ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 − 3 0 8 ] eg.设矩阵A的伴随矩阵A^*=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&-3&0&8\end{matrix}\right] eg.设矩阵A的伴随矩阵A∗=⎣⎢⎢⎡​1010​010−3​0010​0008​⎦⎥⎥⎤​， 且 A B − 1 A = B A − 1 + 3 E ， 其 中 E 是 四 阶 单 位 矩 阵 ， 且AB^{-1}A=BA^{-1}+3E，其中E是四阶单位矩阵， 且AB−1A=BA−1+3E，其中E是四阶单位矩阵， 求 矩 阵 B 求矩阵B 求矩阵B。

解 ： ( A − E ) B A − 1 = 3 E ， 解：(A-E)BA^{-1}=3E， 解：(A−E)BA−1=3E，
B = 3 ( A − E ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = 3 ( A − 1 ( A − E ) − 1 ) − 1 B=3(A-E)^{-1}(A^{-1})^{-1}=3(A^{-1}(A-E)^{-1})^{-1} B=3(A−E)−1(A−1)−1=3(A−1(A−E)−1)−1
= 3 ( E − A − 1 ) − 1 = 3 ( E − A ∗ ∣ A ∣ ) − 1 =3(E-A^{-1})^{-1}=3(E-\frac{A^*}{|A|})^{-1} =3(E−A−1)−1=3(E−∣A∣A∗​)−1
又 因 为 A A ∗ = ∣ A ∣ E ， ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ， 又因为AA^*=|A|E，|A^*|=|A|^{n-1}， 又因为AA∗=∣A∣E，∣A∗∣=∣A∣n−1，
∣ A ∣ 3 = ∣ A ∗ ∣ = 8 ， ∴ ∣ A ∣ = 2 ， ∴ B = 6 ( 2 E − A ∗ ) |A|^3=|A^*|=8，\therefore|A|=2，\therefore B=6(2E-A^*) ∣A∣3=∣A∗∣=8，∴∣A∣=2，∴B=6(2E−A∗)

4. 等价矩阵

   A ， B 均 为 m × n 矩 阵 ， 若 存 在 可 逆 矩 阵 P m × m ， A，B均为m\times n矩阵，若存在可逆矩阵P_{m\times m}， A，B均为m×n矩阵，若存在可逆矩阵Pm×m​， Q n × n ， 且 P A Q = B ， 则 称 A 是 B 的 等 价 矩 阵 ， Q_{n \times n}，且PAQ=B，则称A是B的等价矩阵， Qn×n​，且PAQ=B，则称A是B的等价矩阵， 记 为 A ≅ B 记为A\cong B 记为A≅B， 若 r ( A ) = r ， 则 存 在 P 和 Q 若r(A)=r，则存在P和Q 若r(A)=r，则存在P和Q
使 得 P A Q = [ E r O O O ] ， 等 式 右 边 称 为 使得PAQ=\left[\begin{matrix}E_r&O\\O&O\end{matrix}\right]，等式右边称为 使得PAQ=[Er​O​OO​]，等式右边称为 A 的 等 价 标 准 型 ， 矩 阵 的 等 价 标 准 型 是 唯 一 的 A的等价标准型，矩阵的等价标准型是唯一的 A的等价标准型，矩阵的等价标准型是唯一的

5. 矩阵的秩

   设 A 是 m × n 矩 阵 ， A 中 最 大 的 不 为 零 的 子 行 列 式 设A是m\times n矩阵，A中最大的不为零的子行列式 设A是m×n矩阵，A中最大的不为零的子行列式 的 阶 数 称 为 矩 阵 A 的 秩 ， 记 为 r ( A ) ， 且 有 ： 的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)，且有： 的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)，且有：
r ( A n × n = n ) ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可 逆 r(A_{n\times n}=n)\Leftrightarrow|A|\neq 0\Leftrightarrow A可逆 r(An×n​=n)⇔∣A∣​=0⇔A可逆.

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