图之强连通、强连通图、强连通分量 Tarjan算法

一、解释

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条互相可达路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
求解有向图的强连通分量算法有很多,例如Kosaraju,Gabow和Tarjan算法,其中Gabow和Tarjan算法时间复杂度要优于Kosaraju。
理解:
如果单纯将其看出图的话有点难以理解,但是当我们将其看成树,就很容易了。
《图之强连通、强连通图、强连通分量 Tarjan算法》
如上图,如果两个点成强联通,那么显然在树中就会存在一个环,图中L-M-J-L和A-L-M-B-A成环所以组成的强联通分量。

二、Tarjan算法

Tarjan算法基于深度优先搜索树,其有两个重要变量DFN[u]:表示在深度搜索中遍历到该节点的次序。LOW(u)表示以u节点为树根,u及u以下树节点所能找到的最小次序号。注意Tarjan认为单个节点自身就是一个强联通分量,在处理数据时注意屏蔽。以上图为例,我们从A开始,
A:DFN[1] = 1; LOW(1)=1
L:DFN[2] = 2; LOW(2)=2
M:DFN[3] = 3; LOW(3)=3
J:DFN[4] = 4; LOW(4)=4
这时我们在J节点继续往下搜索时,发现L节点我们已经搜索过了,且L:LOW(2)=2,我们发现J:LOW(4)=4>L:LOW(2)=2,因此我们将其赋值LOW(4)=2,这说明此时我们发现了一个环,代表一个强联通分量。
下面继续:
J:DFN[4] = 4; LOW(4)=2
M:DFN[3] = 3; LOW(3)=2
B:DFN[5] = 4; LOW(5)=5
发现B到A:
B:DFN[5] = 4; LOW(5)=1
开始返回更新:
M:DFN[3] = 3; LOW(3)=1
L:DFN[2] = 2; LOW(2)=1
A:DFN[1] = 1; LOW(1)=1
发现DFN=LOW(1),弹出栈。
算法:

void tarjan(int u){

    DFN[u]=LOW[u]=++time; //次序从1开始,初始时由于默认将DFN[u]=LOW[u]都置为次序号
    // 将当前节点压栈,置位在栈中,已访问。
    visit[u]=1;
    s.push(u);
    instack[u]=1;


    //取u节点的下一路径节点v,当没有v可取时也说明深度搜索已经到达当前最底部,这是我们函数返回寻找另一条路径。
    for(int j=0;j<G[u].size();j++){
        int v=G[u][j];
        if(visit[v]==0){
            tarjan(v);
            // 在深度搜索返回时,如果v节点下存在子树,要将u节点的LOW[u]更新。
            LOW[u]=min(LOW[u],LOW[v]);
        }
        else if(instack[v]){
            // v节点已经被访问,并且在栈中,说明在当前路径上存在环,此处只是赋值,但并不代表在u子树的底下的多个节点没有比当前环更大的环。无法作为深度终止条件。
            LOW[u]=min(LOW[u],DFN[v]);
        }
    }

    int m;
    int num=0; //对一个环计数计数
    // 在深度搜索完结后返回时,判断DFN[u]==LOW[u],相等说明找到了一个环,将栈中节点弹出。注意tarjan算法认为单个节点也为环。
    if(DFN[u]==LOW[u]){
        // 将栈中节点弹出,并计数
        do{
            m=s.top();
            s.pop();
            instack[m]=0;
            num++;
        }while(m!=u);

        // 只有环内节点数大于两个才是真正环。
        if(num>1){
            // n个点两两相交(互相到达),则有n*(n-1)/2条连接线
            total+=num*(num-1)/2;
        }
    }

}

关于为啥只用访问一次:
开始疑惑,肯定会多条路径通过某一点,如果用visit记录访问记录的话,下一条路径不就会不能访问该点了吗?遂绘制丑图:
《图之强连通、强连通图、强连通分量 Tarjan算法》
如图当我们访问到6节点时发现有环,且到达底点,这时根据算法开始返回,同时将2-6-5这条环也遍历掉(此时5号已访问压栈且有LOW=1)。也就是说在返回到1号节点开始出栈时,我们已经把1号节点的子树全部访问了一遍,该成环的也做了标记。在1号节点下的子节点不会通向1号节点以上的节点,比如0号节点,不然1号只能算一个类似于2-6-5这条环。至于从0号到5号就不用再判断了。所以遍历一遍就行。我觉得巧妙之处在于在深度向前搜索过程并没有处理数据,而在深度返回过程中开始更新数据,记录找到的回路,并且到达子树根节点DFN[u]==LOW[u]才开始出栈。
算法实例:
CCF 高速公路

    原文作者:青盏
    原文地址: https://blog.csdn.net/qq_16234613/article/details/77431043
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