傅里叶变换公式推导(一)

一、概述

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章;而你眼中那变化多端,复杂多样的函数,实际只是由不同幅度(幅度谱),不同相位(相位谱)的正弦波所组成;而这神奇的函数变换规律,就来源于傅里叶变换,学习傅里叶变换,让我们透过现象看本质。
下面的图是由不同的正弦波所构成的矩形脉冲,它就像不同的齿轮相互嵌套旋转所形成。

《傅里叶变换公式推导(一)》

二、完备正交函数集

我们先从空间中的一个点来开始讨论,我们应该怎样去定位它,在二维空间中,我们采用了一个X,Y两条坐标轴去确定点在空间的位置,而在三维空间中,我们引入了Z轴,构成三维的坐标系。那倘若在N维的空间呢,我们不妨想想,坐标的本质是每两条的坐标轴都互相垂直,如果我们能找到N条相互垂直的函数(函数的垂直是在一定的区间,函数内积的积分为零),是不是就可以去确定在N维空间上的点。而这样的函数集我们称之为正交函数集。在正交函数集中,若不存在任何的非零函数,那么便称之为完备正交函数集。例如:

三角函数完备正交集:sin 0,cos 0,sin x,cos x,sin2x,cos2x…sin nx,cos nx

傅里叶变换是从三角函数的正交性推导而来,这是之后推导的数学基础。可以任选其中的两个三角函数加以证明。

《傅里叶变换公式推导(一)》

三、周期函数的傅里叶级数

由三角函数的正交性可知,一个周期函数可由完备正交函数集展开,即正交分解。假设有一个周期为2π的函数,那么它一定可以由前面的三角正交函数集分解,其形式为:
《傅里叶变换公式推导(一)》
由上式可知,里面的未知变量有a0,an,bn。接下来,对它们进行求解:

  1. a0求解,对上述式子左右两边进行定积分:《傅里叶变换公式推导(一)》
    注:其中cos0与cosnx或sinnx,由于它们是三角正交函数集的两项,所以对它们的积分为零
  2. an的求解,等式两边乘以cosmx,然后两边进行定积分
    《傅里叶变换公式推导(一)》
  3. bn的求解,等式两边乘以sin mx,然后两边进行定积分
    《傅里叶变换公式推导(一)》
    对上式进行整理,便可得到周期为2π的傅里叶级数的式子:
    《傅里叶变换公式推导(一)》
    注:其中的a0的求解值将1/2放到原式

傅里叶变换公式推导(二)

    原文作者:笔下的木水
    原文地址: https://blog.csdn.net/cjvhjv/article/details/112688862
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