自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》
二阶系统的时域分析

二阶系统是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。在控制工程中,不仅二阶系统的典型应用极为普遍,而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此,着重研究二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。大家也要稳扎稳打,扎实的掌握二阶系统及其特性。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 二阶系统的时域模型

对于一个二阶系统,其标准闭环传递函数的形式为:

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其对应的微分方程是:

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其中:

  • 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》自然频率
  • 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》阻尼比

相对应的结构图如图片3.3所示:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 图片3.3:标准形式的二阶系统结构图。

令式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 中的分母多项式为零,则可以得到
二阶系统的特征方程为:

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其两个根称为闭环极点,为:

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显然,二阶系统的时间相应取决于

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 这两个参数。应当指出的是,对于结构和功用不同的二阶系统,
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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的物理含义是不同的。

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二阶系统的单位阶跃响应

在闭环极点中,若

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,则二阶系统具有两个正实部的特征根,其单位阶跃响应为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

其中:

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由于阻尼比

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 为负,指数因子具有正幂指数,因此系统的动态过程为发散的正弦振荡或单调发散的形式,从而表明
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的二阶系统是不稳定的。

  • 如果 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,则特征方程有一对纯虚根, 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,对应于 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面虚轴上一对共轭极点,可以计算出系统的阶跃响应为等幅振荡,此时,系统相当于没有阻尼的情况;
  • 如果 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,则特征方程有一对具有负实部的共轭复根, 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,对应于 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面左半部的共轭复数极点,响应的阶跃响应为衰减的振荡过程,此时系统处于欠阻尼的状态;
  • 如果 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 则特征方程具有两个相等的负实根, 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,对应于 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面负实轴上两个相等的实极点,相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出,此时系统处于临界阻尼的情况;
  • 如果 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,则特征方程有两个不相等的负实根 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,对应于 《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面上两个不相等的实极点,相应的阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出,但响应速度比临界阻尼情况缓慢,因此成为过阻尼的情况。

上述各种闭环极点在

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面上的分布情况如图片3.4所示。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 图片3.4:二阶系统的闭环极点分布。

由此可见,

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 值的大小决定了系统的阻尼程度。下面,我们将分别研究欠阻尼、临界阻尼、过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》
欠阻尼
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 二阶系统的单位阶跃响应

若令

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 则有:

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其中,

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 称为
衰减系数
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 称为
阻尼振荡频率

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,由式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 可得:

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对式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 取逆
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 变化可得:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

其中,

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成:稳态分量为
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ;瞬态分量为阻尼正弦振荡项,其振动频率为
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,故称为阻尼振荡频率。由于瞬态分量衰减的快慢程度取决于包络线
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 收敛的速度,当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 一定时,包络线的收敛速度有取决于指数函数
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的幂,所以,
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 称为衰减系数。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,则二阶系统在无阻尼的情况下的单位阶跃响应为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的值由系统本身的结构参数决定,常称为
自然频率

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》
临界阻尼
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 二阶系统的单位阶跃响应

设输入信号为单位阶跃函数,则系统输出量的

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 变化可以写为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

对式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 取逆
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 变换,得到临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,二阶系统的单位阶跃响应应为稳态值为
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的无超调的上升过程,其变化率为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,响应的变化率为零,当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,相应过程的变化率为正,响应过程单调递增,当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,响应的变化率趋于零,响应过程趋近于常值
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 。通常,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》
过阻尼
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 二阶系统的单位阶跃响应

令:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

则过阻尼二阶系统的输出量的

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 变换为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

式中,

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 称为过阻尼二阶系统的时间常数,且有
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 。对上式取逆
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 变化得到:

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,响应特性包含着两个单调递减的指数项,其代数和绝不会超过稳态值
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的,通常称为过阻尼响应。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 欠阻尼二阶系统的动态过程分析

在控制工程中,除了那些不允许产生振荡响应的系统外,通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。

为了便于说明改善系统动态性能的方法,图片3.5表示了欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 图片3.5:欠阻尼二阶系统额定特征参量。

由图片3.5可见,衰减系数

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 是闭环极点到虚轴之间的距离;阻尼振荡频率
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 是闭环极点到实轴之间的距离;自然频率
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 是闭环极点到原点之间的距离;且
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 与负实轴的夹角恰好是阻尼比,即:

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 称为阻尼角。下面推导无零点欠阻尼系统的动态性能指标计算公式。

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延迟时间
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在式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 中,令
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,可得
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的隐函数表达式为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

利用曲线拟合法,在较大的

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 范围内,近似有:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 时,亦可使用式进行近似:

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 和式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,增大自然频率或减小阻尼比都可以减小延时时间。或者说,当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 不变时,闭环极点距
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面的坐标原点越远,系统的延迟时间越短;而当
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 不变时,闭环极点距
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 平面上的虚轴越近,系统的延迟时间越短。

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上升时间
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在式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 中,令
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,求得:

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由于

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,所以有:

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由式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 可知,当阻尼比
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 一定时,阻尼角
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 不变,系统的响应速度与
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 成正比;而当阻尼振荡频率
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 一定时,阻尼比越小,上升时间越短。

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峰值时间
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对式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 对时间求导并令导数为零得:

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整理得:

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根据峰值时间的定义,有:

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。或者说,峰值时间与闭环极点的虚部成反比。当阻尼比一定时,闭环极点离负实轴的距离越远,系统的峰值时间越短。

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超调量
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因为超调量发生在峰值时间上,所以,将式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 带入式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 可得输出量的最大值为:

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由于

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,故式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 可写为:

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》

根据超调量的定义,并考虑到

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 可以求得:

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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 表明,超调量
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 是阻尼比
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 的函数,而与自然频率
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 无关。显然,阻尼比越大,超调量越小,反之亦然。

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调节时间
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上式表明,调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远,系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据系统超调量的要求来满足,所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而增大自然频率,则可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

从上述各项动态性能指标的计算中可以看出,各个指标之间是相互矛盾的。比如上升时间和超调量,即响应速度和阻尼程度不能同时达到满意的结果。

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过阻尼二阶系统的动态过程分析

由于过阻尼的系统的响应缓慢,故通常不希望采用过阻尼系统。但是,这并不排除在某些情况下,例如在低增益、大惯性的温度控制系统当中,需要采用过阻尼系统。

当阻尼比

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,且初始条件为零时,二阶系统的单位阶跃响应为式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 。显然, 在动态性能指标中,只有延迟时间、上升时间和调节时间才具有意义。然而,式
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 是一个超越方程,无法根据各个动态性能指标的定义求出其精确的计算公式。目前,工程上所采用的方法,仍然是利用数值近似的解法求出不同
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 值下的无因次时间,然后制成曲线以供查用;或使用曲线拟合法给出近似计算公式。

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延迟时间
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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 上升时间
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《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 调节时间
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由式

《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 ,令
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 为不同的值,可以解出相应的无因次调节时间
《自动控制原理第七版胡寿松pdf_自动控制原理简明笔记—(05)》 。由于:

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因此得到:

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临界阻尼二阶系统的调节时间为:

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    原文作者:weixin_39852688
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