一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

线性空间与线性映射

一、线性空间的概念

  1. 记实数域 为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 复数域为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 统称数域 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 。设有一非空 集合记为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 对集合 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的元素定义二元加法运算和数乘运算。(二元加法运算和数乘运算是一种线性映射,集合 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的元素可以为:数组(n tuple)、函数(多项式函数、连续函数、分段可积函数等)、有向线段等)
  2. 二元加法运算+ : 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 : 对于 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中任意元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 在 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中都有唯一元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 与之对应,使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 。 加法运算满足以下4条性质: 1. 交换律: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 2. 结合律: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 3. 零元素:在 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中存在零元 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,满足 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 4. 负元素:对于 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中 的任意元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 都在 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中 存在元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 满足 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
  3. 二元数乘运算 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 : 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 : 对于 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中 的任意元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 与数域 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的数 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 定义数乘运算,在 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中存在元素 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 。数乘运算满足以下4条性质: 1. 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 2. 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 3 . 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 4. 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 其中 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是集合 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的元素, 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是数域 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的数。

且则称 集合

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是 数域
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 上的线性空间 。

remark 1: 空间这个概念只是为了类比2维或3维几何空间的一个概念,更好的理解为元素的集合,线性空间中的元素统称为抽象向量(The form that vectors take doesn’t really matter, it can be anything)。 remark 2: 集合

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的中元素为:数组、函数、有向线段时,对应称为数域空间、函数空间、几何空间。

remark 3: 特别地,对于几何空间(有向线段的集合),加法运算采用平行四边形或三角形法则进行计算,数乘运算表示对有向线段进行同向或反向伸缩。

1.1 线性相关性:
线性相关性可以用线性非齐次方程组的解集来描述, 设抽象矩阵

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 个抽象向量组成,方程组

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

  1. 若方程(1)不存在非零解(即只有 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 式(1)成立),则称向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性无关
  2. 若方程(1)存在非零解,则称向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性相关

1.2 有限维线性空间

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
基(坐标系)与坐标

设集合
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是数域
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 上的线性空间, 有正整数
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》满足以下两个条件:

  1. (线性无关性) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性无关;
  2. (生成性) 任取向量 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 均可由 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性表示:即 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 上的
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 维线性空间。 向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一组基(该空间的一种坐标系), 矩阵
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为基矩阵,向量
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为抽象向量
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 在基
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的坐标。

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

remark 1: 基向量组的线性无关线保证空间中的抽象向量在该基下的坐标是唯一的,生成性保证空间中的任意向量在该基下都有坐标;

remark 2: 抽象向量的坐标

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,因此基(坐标系)实现了
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 维线性空间到
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 维标准线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一一对应(基(坐标系)提供了一种将抽象向量具体化的操作);

例:

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是函数空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的一个元素,则

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 被具体化为
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

remark 3:

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 维线性空间的基向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 要满足3个条件: (1)向量组个数为
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ;(2)
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性无关(保证该空间中每一个点的坐标的唯一性);(3)可表示性,即 任取
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 有解(就是能找到对应坐标);

remark 4: 线性空间的基不是唯一的(一个空间可以有不同的坐标系),一个向量在不同的基下的坐标也是不一样的。设向量组

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 与向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 维线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的两组不同的基,且有

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称方阵

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为基向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 到基向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的过渡矩阵。特别地,当
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是标准正交基时, 矩阵
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为酉矩阵即(
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ), 此时过渡
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为上三角矩阵,且其对角线上元素为正实数,
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为正交-三角 分解(Gram-Schmidt标准正交化,(将一般基转换成标准正交基的方法)。

1.3 标准线性空间

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
的标准基与一般基

  1. 标准线性空间 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的标准基为: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 标准基构成了单位矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 .
  2. 标准线性空间的一般基向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 拼成的(非抽象的矩阵) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》是非奇异矩阵.
  3. 齐次线性方程组的解集称为矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的核(kernel) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》.

1.4 线性子空间:
定义: 设

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是数域
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 上的线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的子集合,
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 。如果空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的元素满足:

  1. (加法封闭性)若 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 有 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
  2. (数乘封闭性) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 有 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的线性子空间。

生成子空间:设

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的一组向量, 则集合
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的生成子空间,可以证明
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的子空间。(
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以理解为由向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 线性组合生成的全体向量的集合,向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 提供了空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一种表达方式,

  • 给定矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 则 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》的子空间 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的像(Image)),写成 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 . 齐次线性方程组的 解空间称为矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的核(kernel) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》.

极大线性无关组与秩:线性子空间的维数与生成该空间的一个向量组中向量的个数相等:

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 其中
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的秩(即
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的极大线性无关组中向量的个数),向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的任一
极大线性无关组可以作为空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一个

二、线性映射与线性变换

线性映射的定义: 设

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 上的两个线性空间,定义映射
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 若映射
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》满足二元加法运算与数乘运算:

  1. 保加法性: 任取 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 成立;
  2. 保数乘法: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称映射

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 到空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的线性
映射。若
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 则称
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的线性
变换

2.1 线性映射的矩阵表示

设向量组

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一组基,向量组
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的一组基,若
线性映射
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以写成

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称矩阵

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为线性映射
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 在基
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 与基
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的矩阵表示。

设原像

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 且在基
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的线性表示为:

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则其通过线性映射的像

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以表示为

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

于是像

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 在基
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的坐标为

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

式(5)表示空间

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的元素通过线性映射到空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中,像与原像的坐标变换关系。

  • 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 此时线性映射称为空间 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 中的 线性变换《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 线性变换在基 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的矩阵表示为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 . 给定线性空间中的一组基,则对于空间中元素的线性变换的矩阵表示也确定了。
  • Remark: 对于几何空间来说,线性变换相当于对整个空间进行伸缩、旋转等几何操作。具体到作用于一个点相当于将这个点移动到另一个点,线性变换矩阵刻画了移动轨迹.
  • 两个线性变换顺序不同,总的变换效果一般是不同 。即 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 通常不是对应同一线性变换。
  • 表示线性变换的矩阵的行列式(determinant)相当于向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 所张成空间的体积,故对于同一线性变换的行列式相同。(若 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ). 同理,同一线性变换对应的特征向量也是相同的。(即行列式、特征向量与坐标系无关)。
  • 方程组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 有非零解的几何解释,线性变换能将空间中的向量 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 压缩到原点,故线性变换有降维作用(高维空间变换到低维空间),故 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 不再是最大线性无关组,从而 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 或者矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 不是列满秩的,不存在逆变换(即不存在线性变换把低维空间变成高维空间: 矩阵列向量组的线性组合的结果只能在其张成的空间或子空间中)。
  • 两个向量进行点乘操作,相当于将其中一个向量的转置看出是投影变换(一个向量的dual是它所定义的线性变换)。
  • 线性变换中包含对空间的旋转操作时,此时矩阵没有特征向量,没有实数特征值。

2.2 矩阵与标准线性空间中的线性映射是等同的

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 代表
标准线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的线性映射:记为:
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的标准基为
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的标准基为
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 则线性映射可以表示为:

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

可见矩阵

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
标准线性空间
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的线性映射
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是等同的。

2.3、矩阵等价(线性映射)与矩阵相似(线性变换

  • 矩阵等价的定义: 给定矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 存在非奇异矩阵(可逆矩阵) 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 满足 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 则称矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 等价。若 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 且 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,则称矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 相似;
  • 矩阵等价本质上相当于对于同一线性映射在不同基底下的矩阵表示,其具体的几何理解为:将 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 视为标准线性空间 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的线性映射: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 . 将矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的列向量组视为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一个基(入口基),矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的列向量组视为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一个基(出口基), 则线性映射 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以表示为: 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, ( 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ), 其中 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 是向量 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 在基矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的坐标 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 。则线性映射 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 在给定入口基 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 与出口基 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 下的矩阵表示为 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 .
  • 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
  • 相互等价的矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 代表同一个线性映射相互相似的矩阵代表同一个线性变换。(等价比相似的要求低一些,因为等价 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 不要求行变换与列变换一一对应,而相似 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 左右线性变换是配套的)。
  • 一般衍生的问题是:给定矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 寻找基矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 使得矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的形式最可能简化(一般为对角阵或者Jordan标准型), 这样使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 个独立输入与输出。特别地,利用奇异值分解 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》,使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
  • 方阵的不变子空间: 设方阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 子空间 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 若满足 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 则称 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为方阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的不变子空间。
  • 方阵的不变子空间与特征向量: 设方阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》, 若有 一 基向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 满足 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为对角阵,即 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》. 则称向量组 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的特征向量组,也称方阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以 相似对角化。 向量 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 称为矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的一维线性不变子空间,也称为特征向量。

remark: 方阵

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 可以
相似对角化的充要条件是有
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
个线性无关的特征向量。

  • 对于任何一个方阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,存在非奇异矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 使得 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,矩阵 《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为Jordan标准型

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 其中
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为矩阵
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
不同的特征值,
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
的几何重复度

2.4 线性变换的特征值与特征向量

设线性空间上的一个线性变换的矩阵表示为

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 ,若存在向量
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 使得

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》

则称向量

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为特征向量,
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 为对应的特征值。

remark 1: 线性变换对于特征向量只表现出伸缩变换,特征值表示伸缩变换的倍数。

remark 2: 同一线性变换在不同的基下的有不同的矩阵表示,这些矩阵互为相似矩阵,相似矩阵的(特征值eigenvalue、行列式determinant、秩rank、迹trace)是相同的(

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 )。

remark 3: 线性变换

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 以及特征子空间都是线性变换
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》的不变子空间。

remark 4: 若

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 则
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的特征子空间都是
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的不变子空间,也就是任何
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的特征子空间包含
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的特征向量(即必有公共的特征向量).

remark: 对于线性映射

《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 , 映射后向量
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 的长度最大为向量
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》
《一对矩阵的相关性_矩阵分析学习笔记(1)》 倍(基于Rayleigh 商函数的极值可以得到)。

[1]

参考

  1. ^根据哈工大严质彬老师矩阵分析课程整理 https://www.bilibili.com/video/av11355346?p=27
    原文作者:weixin_39626237
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_39626237/article/details/110306750
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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