线性代数学习笔记13

这里第十四课-正交向量与子空间

正交向量

  • 正交是垂直的另一种说法,n维中,向量夹脚为90度
  • 首先判断两个正交向量是否是正交的,判断条件是(根据毕达哥拉斯定律)
    ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ Y ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ X + Y ∣ ∣ 2 ||X||^2 + ||Y||^2 = ||X+Y||^2 X2+Y2=X+Y2
    => X T X + Y T Y = X T X + Y T Y + X T Y + Y T X X^T X + Y^TY = X^TX + Y^TY + X^TY+Y^TX XTX+YTY=XTX+YTY+XTY+YTX
    => X T Y = 0 X^TY = 0 XTY=0
    即两个正交向量的点积为零

子空间与子空间正交

  • 子空间分别记为 S,T,满足S 中每一个向量都和T中每一个向量正交
  • 注意:以R3空间为例,xz 子空间与xy子空间就不是正交空间,因为两个空间存在相同的非零向量,肯定就不满足点积为零;点是x轴所在空间和 yz子空间就是正交平面
  • 矩阵的四个子空间中,就是两两正交
  • 以行空间和零空间为例,同属于 Rn空间中,一个维度为r,一个维度为m-r,将整个空间一分为二的两个子空间,证明如下:
    由零空间可知: AX = 0
    [ r o w 1 r o w 2 … … ] × [ x 1 … … ] = [ 0 0 … … ] { \left[ \begin{array}{ccc} row1 \\ row2 \\ …… \end{array} \right ]}\times{ \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ …… \end{array} \right ]} = { \left[ \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ …… \end{array} \right ]} row1row2×[x1]=00
    所以我们可知知道 x 与每一行的行向量都是正交的,即
    { r o w 1 × X = 0 r o w 2 × X = 0 … … \left\{ \begin{aligned} row1\times X = 0 \\ row2\times X = 0 \\ …… \end{aligned} \right. row1×X=0row2×X=0
    =>
    ( k 1 r o w 1 + k 2 r o w + … … ) × X = 0 (k_1row1+k_2row+……)\times X = 0 (k1row1+k2row+)×X=0
    而行空间,是指由矩阵的各行线性组合的集合,证明完毕,列空间和左零空间可以看作A 转置的行空间、零空间,同理
  • 行空间与零空间正交,平分 Rn维空间,列空间和左零空间正交,平分Rm维空间
  • 例如
    A = [ 1 2 5 2 4 10 ] A = { \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2& 5 \\ 2 & 4& 10 \\ \end{array} \right ]} A=[1224510]
    可知行空间维度为1,把行空间想像成原点与[1,2,5]坐标的直线,零空间维度为2维,就是垂直于那条直线的过原点的平面
  • 整个空间维度= 两个正交子空间维度之和,称两个子空间为n维空间里面的正交补,正交补代表了,一个子空间包含了所有垂直于另外一个子空间的向量,即 零空间包含了所有垂直于行空间的向量
  • 学习过程: 维度=>正交性=>正交基

话题引入:求解无解的方程组

AX = b无解时,如何操作

  • 如果有解直接解

  • 当然在实际生活中,比如我们只有n个未知量,但是由m>>n个方程,所以极有可能出现无解的情况,考虑:
    A X = b AX = b AX=b
    =>
    A T A X ~ = b A^TAX^~ = b ATAX=b

  • 考虑 A T A A^TA ATA的性质:
    1、方阵,n*n,
    2、对称的
    3、 r a n k ( A T A ) = r a n k ( A ) rank(A^TA) = rank(A) rank(ATA)=rank(A)
    所以有一个优势,如果矩阵A各列线性无关,ATA 就是可逆的!

    原文作者:喵小姐的邻居小小朱
    原文地址: https://blog.csdn.net/zhuzhuxia183/article/details/86653288
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