《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件

一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

 

判断极值的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》 内可导

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》 
《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》x0 极小值点
《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》x0 极大值点

 

判断极值的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导,且 《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

x0 极大值点

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

x0 极小值点

 

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

当 n 为偶数时

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》x0 极大值点
《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》x0 极小值点

证明:

由于n为偶数,令 n=2k,构造极限

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得:

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

x0 极大值点

《《微积分:一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件》

x0 极小值点

证毕

 

 

    原文作者:SongBai1997
    原文地址: https://blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/98943605
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
点赞