《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件

二阶可导点是拐点的必要条件

设 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》

 

判断拐点的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续,在点 x=x0 的某去心邻域 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》 内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》 变号

则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

 

判断拐点的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 的某邻域内三阶可导,且 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》 ,则点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

 

判断拐点的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 

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当 n 为奇数时,点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点

 

证明:

由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限

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上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得:

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同理可证 《《微积分:一元函数微分学》——判断拐点的三个充要条件》 的情况

故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

证毕

 

    原文作者:SongBai1997
    原文地址: https://blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/98943640
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