模板题

模板题1: 判断绝对值函数是否可导

f ( x ) 在 x = a 处 连 续 , F ( x ) = f ( x ) ∗ ∣ x − a ∣ , 则 f ( a ) = 0 是 F ( x ) 在 x = a 处 可 导 的 充 要 条 件 f(x)在x=a处连续, F(x)=f(x)*|x-a|, 则f(a)=0是F(x)在x=a处可导的充要条件 f(x)x=a,F(x)=f(x)xa,f(a)=0F(x)x=a

结论:

F ( x ) 在 满 足 f ( x 0 ) = 0 的 点 x 0 处 必 定 可 导 F ( x ) 在 满 足 g ( x 0 ) = 0 的 点 x 0 处 为 可 疑 不 可 导 点 可 疑 不 可 导 点 − 必 定 可 导 点 = 不 可 导 点 F(x)在满足f(x_0)=0的点x_0处必定可导\\F(x)在满足g(x_0)=0的点x_0处为可疑不可导点\\可疑不可导点 – 必定可导点 = 不可导点 F(x)f(x0)=0x0F(x)g(x0)=0x0=

例题:

函 数 F ( x ) = ( x 2 − x − 2 ) ∗ ∣ x 3 − x ∣ 不 可 导 点 的 个 数 为 多 少 ( ) 函数F(x) = (x^2-x-2)*|x^3-x|不可导点的个数为多少() F(x)=(x2x2)x3x()

解析:

F ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 1 ) ∗ ∣ x ∗ ( x − 1 ) ∗ ( x + 1 ) ∣ 根 据 绝 对 值 函 数 , 可 疑 的 不 可 导 点 为 x = − 1 , 0 , 1 根 据 上 面 的 结 论 , 当 f ( x ) = 0 时 , 该 点 可 导 , 所 以 依 次 判 断 f ( − 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) 是 否 为 0 F(x) = (x-2)(x+1)*|x*(x-1)*(x+1)|\\根据绝对值函数,可疑的不可导点为x={-1,0,1}\\根据上面的结论,当f(x)=0时,该点可导,所以依次判断f(-1),f(0),f(1)是否为0 F(x)=(x2)(x+1)x(x1)(x+1),x=1,0,1,f(x)=0,,f(1),f(0),f(1)0

模板题2

f ( x ) 在 x = 1 处 可 导 , f ′ ( 1 ) = 1 , 求 lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 1 ) x 10 − 1 f(x)在x=1处可导, f'(1)=1, 求\lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(1)}{x^{10}-1} f(x)x=1,f(1)=1,limx0x101f(x)f(1)

由 已 知 条 件 f ′ ( 1 ) = lim ⁡ x → 1 f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = 令 lim ⁡ x → 1 α   即 f ( x ) − f ( 1 ) = α ( x − 1 ) , 其 中 lim ⁡ x → 1 α = 1 \\由已知条件f'(1)=\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x-1}\xlongequal{令} \lim_{x \to 1}\alpha\\\ \\即f(x)-f(1)=\alpha (x-1),其中\lim_{x \to 1} \alpha =1 f(1)=limx1x1f(x)f(1) limx1α f(x)f(1)=α(x1),limx1α=1

    原文作者:逸枚俗人
    原文地址: https://blog.csdn.net/qq_43570534/article/details/115672210
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