复变函数笔记

复变函数小结

by婉约在风里

对于复变函数,其重点便在于解析函数这一块,整个复变函数可以说是围绕着解析函数来进行论述的,解析函数的定义——在某一点邻域所有点可导的函数,称之为解析函数。与此同时,柯西黎曼方程,便顺势而生,这也是一个判断复变函数是否解析的很好的等价条件。提到导数,一定会有人有疑问,既然,实变函数的导数代表的切线斜率,代表函数值的变化速度,那么复变函数的导数又有什么意义呢?其实,这里的几何意义很明显,导数的模的平方就是将复区域(定义域)映射为复区域(值域)的面积之比。这么一想,和实变函数的导数好像没什么两样呀,其实很还是有的,毕竟是区域,和区间还是有差别的,这里不单单会涉及到值,还会涉及到方向,也就是辐角,因此在这方面,会涉及保角映射。这和几何上面欧氏空间的保角映射和保长映射其实并无两样。

之后便是研究解析函数的核心工具——幂级数。和实函数一样,解析函数也有自己的幂级数展开,而且,解析函数有着和实函数不一样的性质,复变函数如果在某个区域是解析的,那么他的级数展开收敛圆一定可以延拓到区域边界。这样神奇的性质还是要归功于柯西定理的应用,而柯西定理就像一把钥匙,打开了解析函数性质研究的大门,使之诸多性质被发掘出来。同样,反函数的问题,一样存在于复平面,复平面的特殊性质,使之与实函数的反函数相差很大,i的存在,使得反函数的存在多种多样,于是导出了多值函数,其根源就在于辐角的变化,如果将定义域的辐角限制到,0到$\pi$,便会使得很多多值函数变为单值函数。

此后,我们得到了解析函数的定义,以及研究解析函数的工具,我们便可以对其开始研究啦。我们说到幂级数,便会想到幂级数的系数从何而来,这里我们用到了柯西积分公式,并简单的交换了级数和积分的顺序,便得到了幂级数展开式,而系数也很容易和导数联系起来,至此我们也变得到了解析函数求其n阶导数的公式。从而,我们得到了,柯西不等式, 零点孤立原理等等实用的定理。此时,我们需要着重介绍一下一个分析定理在复变函数的应用,也就是开映射定理,因为开映射定理的存在,使复函数不能在开区间映射为闭区间,也就是不能在内点处得到函数的最大模,这就是最大模原理,解析函数在区域的最大值只能在边界取到,后面的施瓦茨引理等等都是对最大模原理的应用,可以说最大模原理也是复变函数的重点定理,利用这个定理,可以解决很多实际问题,再次不做赘述。

后面,便要学习洛朗级数,也是针对解析函数的非解析奇点部分的级数展开,这样子,我们便有了去了解亚纯函数的工具了。利用洛朗级数的展开特征,我们可以将奇点分为,可去奇点,极点,以及本性奇点。

这时候,常用的解析方法都介绍完毕了,我们要开始将这些应用实际利用我们的问题中去了,其中最为大家所熟悉的方法,便是留数定理的应用。留数定理,本质上是将函数洛朗级数展开后,对每一项进行积分,由于只有次数为-1时,含奇点的单连通区域积分才不为零,我们便可以利用一些特殊方法计算奇点处洛朗展开式的-1次项的系数,进而计算复变积分,与此同时,对于实积分,我们可以将其延拓至复平面,然后进行分析计算,这就是复变函数在实变函数上面的积分的应用,此后还有辐角原理,也算是留数的一个应用,其几何意义也相当明显,在此略过。之后的调和函数,严格意义上,也算是复变方法在实变函数的应用了。

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    原文作者:weixin_34090643
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