对系统稳定性的一些理解

对系统稳定性的一些理解

在数字信号处理中,系统的稳定性是一个很重要的问题,比如说在滤波器的设计中,都要求系统必须稳定,否则是无法使用的。那么,如何判断系统是否稳定呢?

从定义上说,如果输入有界,则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出,因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位圆的系统是稳定的。从零点极点的角度,则是系统函数的所有极点都在单位圆内的系统是稳定的。如何来理解呢?

我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统:

H(z)=1/(1-2z-1)

表示的是如下的如下的信号处理过程:系统当前输出是当前的输入加上2倍的系统上一时刻输出之和。这个系统是不稳定的,因为当前输出需要放大上一个时刻的输出,这也就是说,系统存在的自激的过程,直观上我们就可以很好地理解,自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看,这个系统的极点为2,在单位圆外,与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求,对一阶极点而言,实际上也就是直观上要求系统不能自激。

对于高阶极点的情况,由代数学可知,高阶极点可进行分式的分解,也即是高阶极点可以分解成多个一阶极点并联而成的系统,在并联系统中,只要有一个系统不稳定,整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的既包含零点又包含极点的系统,可以看成一个全零点系统和全极点系统串接而成,零点与系统的稳定性无关,分析和结论与高阶全极点系统完全一致。

在滤波器的设计中,可以很方便地通过调整极点改变滤波器的特性。而在许多设计精巧的滤波器中,极点往往在单位圆上或单位圆附近,在实际中还要考虑量化及数的精度等问题,确保系统的稳定性。

    原文作者:iteye_9380
    原文地址: https://blog.csdn.net/iteye_9380/article/details/82097311
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