关于定义域有界性的三种判断

关于定义域有界性的三种判断

@(微积分)

给定一个函数,讨论其在定义域上是否有界,有三种方法。不敢说常见,提出来思考。

  • 理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然有界。
  • 计算法:切分

    • (a,b)内连续
    • limxa+f(x)
    • limxbf(x)
      则f(x)在定义域[a,b]内有界。
  • 运算规则判定:在边界极限不存在时

    • 有界函数 ± 有界函数 = 有界函数 (有限个,基本不会有无穷个,无穷是个难分高低的状态)
    • 有界 x 有界 = 有界

这是三种看似没什么用的结论,但是用起来才能明白它的效用。

举个例子:

讨论函数 f(x)=(x31)sinx(x2+1)|x| 在其定义域上的有界性。

分析:这种看着也挺简单的,对吧。

从这个函数中可以看出,定义域是 (,0)(0,+)

分成两段,那么问题将转化为四个极限的求解。

limxf(x)
limx+f(x)
limx0+f(x)
limx0f(x)

如果四个极限存在,则可说明f(x)有界。

分别计算:

limxf(x)=limx(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)(x)sinx

大概可以一眼看出是两个有界函数之积了。因此极限存在。
同理可得:

limx+f(x)=limx+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx(x31)(x2+1)xsinx

也是极限存在。

limx0f(x)=limx0(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0(x31)(x2+1)sinxx=1

limx0+f(x)=limx0+(x31)sinx(x2+1)|x|=limx0+(x31)(x2+1)sinxx=1

当变元趋近某一个值时,代入不会出现分母为0,不必犹豫,能代入则代入。

这样,四个极限都存在,就可以说明函数在定义域内有界了。

    原文作者:DrCrypto
    原文地址: https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53747494
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