2.4 逆矩阵

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线性代数请记住:永远不要把矩阵放在分母上

方阵的行列式

对一个方阵求行列式,就是把一个数表变成了一个数,行列式是矩阵的一个属性,矩阵有很多属性如:特征值、特征向量、行列式…
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性质

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例题

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伴随矩阵(只有方阵才有伴随矩阵)

求一个n阶方阵 A A A的伴随矩阵的步骤为:

  • 1、求所有元素的代数余子式
  • 2、按行求的代数余子式按列放,构成一个矩阵就是伴随矩阵记为 A ∗ A^* A
    口诀:按行求,按列放
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定理

任意方阵A有:《2.4 逆矩阵》
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推论:对任意方阵A有: ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} A=An1
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逆矩阵的定义

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逆矩阵满足下面的基本事实:
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3) A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A = E AA1=A1A=E

1)如何判断一个矩阵可逆?2) A − 1 = ? A^{-1}=? A1=?

这里有个概念,如果矩阵A的行列式不为0,则称这个矩阵非奇异、非退化、满秩、可逆
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定理

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这个定理的证明是通过逆矩阵的定义证明的
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下面这个推论只需证明AB=E则A可逆,而定义需要证明AB=E且BA=E
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求逆矩阵的方法

1、上面提到的伴随矩阵法(计算量大)
2、初等变换法

例题

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一个矩阵一定要判断可逆才能写逆矩阵
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解矩阵方程需要注意的点:
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逆矩阵的性质

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伴随矩阵 A ∗ A^* A小结

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参考

以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
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    原文作者:wuzheng228
    原文地址: https://blog.csdn.net/renweiyi1487/article/details/103881471
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