信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解

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本文涉及到信号处理的基本知识,主要为图像处理与模式识别打基础。

信号的定义

定义及数学表示

  • 信号是一种随时间或空间变化的物理现象或物理量
    – 如声音、图像、视频等
  • 信号的表示:
    – 可以由一个或多个独立变量构成的函数来表示
  • 一维声音信号 A ( t ) A(t) A(t) 、二维图像信号 I ( x , y ) I(x,y) I(x,y)、三维视频
    信号 V ( x , y , t ) V(x,y,t) V(x,y,t)
    – 绘出函数的图像称为信号的波形
    – 各种变换、频谱分析等

分类

  • 信号在不同的规则下具有不同的分类方式
    – 确定性信号与随机信号
    – 奇信号与偶信号
    – 一维信号和多维信号
    – 连续时间信号和离散时间信号
    – 周期信号和非周期信号
    – 模拟信号和数字信号
    具体分类依据不再展开,可参考其他网络资料

信号的基本运算

这些了解即可

  • 移位(时移或延时) F ( t ) = f ( t − t 0 ) F(t) =f(t-t_0) F(t)=f(tt0)
  • 反转变换(反褶) F ( t ) = f ( − t ) F(t) =f(-t) F(t)=f(t)
  • 尺度变换(压缩与扩展) F ( t ) = f ( a t ) F(t) =f(at) F(t)=f(at)
  • 微分与积分 F ( t ) = f ′ ( t ) = d d t f ( t ) F ( t ) = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ F(t) =f'(t) = \frac{d}{dt}f(t) \\ F(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau F(t)=f(t)=dtdf(t)F(t)=tf(τ)dτ
  • 加法与乘法 F ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) F ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) F(t) = f_1(t)+f_2(t) \\ F(t) = f_1(t)*f_2(t) F(t)=f1(t)+f2(t)F(t)=f1(t)f2(t)
  • 基本信号分解。下面将具体介绍。

信号的分解

  • 为了便于研究信号的传输和处理问题,往往将信
    号分解为一些简单(基本)的信号之和
  • 分解角度不同,可以分解为不同的分量
    – 直流与交流分解:直流分量与交流分量
    – 奇偶分解:偶分量与奇分量
    – 虚数的虚实分解:实部分量与虚部分量
    – 脉冲分解:脉冲分量
    – 正交分解:正交函数分量

信号的脉冲分解

脉冲函数

脉冲函数也称 δ \delta δ函数。若在一维空间中,自变量为时间 t t t的函数,满足下述两个条件:
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
把满足上述两个条件的函数称为函数 δ \delta δ,记作 δ ( t ) \delta(t) δ(t) δ \delta δ函数是一种广义函数,也可以扩展到多维空间中,它的确切意义应该在积分运算下理解:其积分曲线高度为“无限高”,而宽度为“无限窄”,曲线下的面积等于1。因此, δ \delta δ函数有下述关系式
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》

脉冲函数的性质

性质一:偶函数

《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
显而易见,不做赘述

性质二:积分得到阶跃函数

u ( t ) u(t) u(t)为单位阶跃函数,即
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
则有
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
脉冲函数与阶跃函数都具有比较好的性质,接下来通过阶跃函数,推导出性质三:筛选性质。

性质三:筛选性质

矩形脉冲
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》

将一个信号用矩形脉冲来逼近
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
t = τ t=\tau t=τ时,脉冲高度为 f ( τ ) f(\tau) f(τ),脉宽为 Δ τ \Delta\tau Δτ,则此窄脉冲可表示为 f ( τ ) [ u ( t − τ ) − u ( t − τ − Δ τ ) ] f(\tau)[u(t-\tau) – u(t-\tau – \Delta\tau)] f(τ)[u(tτ)u(tτΔτ)].
这个窄脉冲(矩形脉冲)可以好好体会一下。
得到了一个窄脉冲基于阶跃函数的表示,那么整个信号的表示只需要对 τ \tau τ求和。
《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
至此,我们回到了用 δ \delta δ表示一个信号,得到公式《信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解》
这就是筛选性质,同时,原信号被分解,这就是脉冲分解

信号的正交分解

  • 如果用正交函数集来表示一个信号,那么,组成信号的各分量就是相互正交的
  • 正交分解是傅里叶变换、余弦变换等的基础

后续会更新本节内容并上链接

    原文作者:言阳
    原文地址: https://blog.csdn.net/xbr_1111/article/details/115076528
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